Question

Zad.1. Rozwiąż równania i nierówności
a) 2x²-3x=0
b) x²+4x=0
c) x³-x²+8x-8=0
d) -x³-3x²+4x+12-0
e) 2/x+1=3/x-2
f) x²+5x+6≥0
g) x²-25<0
h) -x²+9>0
i) x²+3x≤0

Zad.2. Sprowadź do postaci ogólnej, podaj współrzędne wierzchołka paraboli.
a) y=2(x-1)²+3
b) y= -(x+3)²-1
c) y=(x+2)²+1
Zad.3. Sprowadź do postaci iloczynowej i podaj jego pierwiastki.
a) y=x²-x-6
b) y=-x²+x+6
c) y=2x²-3x-2
d) y=-2x²+4x-6
e) y=4x²-1
f) y= -x²+4x-4
Zad.4. Podaj zbiór wartości funkcji i przedziały monotoniczności.
a) y=x²-7
b) y=-2(x-1)²+3
c) y=3x²+6x-2

Answer 1

Zad.1. Rozwiąż równania i nierówności
a) 2x²-3x=0
x(2x-3)=0
x=0 v 2x-3=0
x=0 v x=3/2

b) x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0 v x+4=0
x=0 v x=-4

c) x³-x²+8x-8=0
x²(x-1)+8(x-1)=0
(x-1)(x²+8)=0
x=1 v x²=-8→brak rozw
zatem
rozw to x=1

d) -x³-3x²+4x+12-0
-x²(x+3) +4(x+3)=0
(x+3)(-x²+4)=0
x+3=0 v (4-x)=0 v (4+x)=0
x=-3 v x=2 v x=-2

e) 2/x+1=3/x-2
zał. x+1≠0 i x-2≠0
x≠-1 i x≠2
D=R/{-1,2}
2(x-2)=3(x+1)
2x-4=3x+3
-x=7
x=-7∈D

f) x²+5x+6≥0
Δ=25-24=1
x₁=(-5-1):2=-3
x₂=(-5+1):2=-2
x∈(-∞,-3>u<-2,∞)

g) x²-25<0
(x-5)(x+5)<0
x=5 v x=-5
x∈(-5,5)

h) -x²+9>0
(3-x)(3+x)>0
x=3 v x=-3
x∈(-3,3)

i) x²+3x≤0
x(x+3)≤0
x=0 v x=-3
x∈<-3,0>

Zad.2. Sprowadź do postaci ogólnej, podaj współrzędne wierzchołka paraboli.
a) y=2(x-1)²+3
wierzchołek to (p,q)
(p,q)=(1,3)
postac ogólna to y=ax²+bx+c
y=2x²-4x+2+3=2x²-4x+5
b) y= -(x+3)²-1
(p,q)=(-3,-1)
y=-x²-6x-9-1=-x²-6x-10
c) y=(x+2)²+1
(p,q)=(-2,1)
y=x²+4x+4+1=x²+4x+5

Zad.3. Sprowadź do postaci iloczynowej i podaj jego pierwiastki.
y=a(x-x₁)(x-x₂)

a) y=x²-x-6
Δ=1+24=25
x₁=(1-5):2=-2
x₂=(1+5):2=3
y=(x+2)(x-3)
b) y=-x²+x+6=-(x²-x-6)jak wyzej tylko -
y=-(x+2)(x-3)
x=-2 vx=3
c) y=2x²-3x-2
Δ=9+16=25
x₁=(3-5):4=-2/4=-1/2
x₂=(3+5):4=2
y=2(x+1/2)(x-2)=(2x+1)(x-2)

d) y=-2x²+4x-6=-2(x²-2x+3)
Δ=16-48=-32
brak postaci iloczynowej
brak pierwiastkow
e) y=4x²-1
y=(2x-1)(2x+1)
x=1/2 v x=-1/2
f) y= -x²+4x-4=-(x²-4x+4)
y=-(x-2)²
x=2
Zad.4. Podaj zbiór wartości funkcji i przedziały monotoniczności.
a) y=x²-7
Zbw=<-7,∞)
f rosnaca dla x∈(0,∞)
f malejaca x∈(-∞,0)

b) y=-2(x-1)²+3
Zbw=(-∞,3>
f rosnaca dla x∈(-∞,1)
f malejaca x∈(1,∞)
c) y=3x²+6x-2
p=-b/2a
p=-6/6=-1
q=F(p)=f(-1)=3(-1)²+6(-1)-2=3-6-2=-5
Zbw=<-5,∞)
f rosnaca dla x∈(-1,∞)
f malejaca x∈(-∞,-1)

Answer 2

Zad.1. Rozwiąż równania i nierówności
a) 2x²-3x=0
x(2x-3)=0
x=0 lub x=1,5

b) x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0 lub x=-4

c) x³-x²+8x-8=0
x²(x-1)+8(x-1)=0
(x-1)(x²+8)=0
x=1 x²+8≥0 dla każdego x

d) -x³-3x²+4x+12-0
-x²(x+3)+4(x+3)=0
(x+3)(-x²+4)=0
x=-3 lub x=2 lub x=-2

e) 2/x+1=3/x-2 x∈R\{-1,2}
2x-4=3x+3
-7=x

f) x²+5x+6≥0
(x+3)(x+2)≥0
x=-3, x=-2 parabola, ramiona w górę
x∈(-∞,-3>u<-2,+∞)

g) x²-25<0
x=5, x=-5 parabola, ramiona w górę
x∈(-5,5)

h) -x²+9>0 parabola, ramiona w dół
x=3, x=-3
x∈(-3,3)

i) x²+3x≤0
x(x+3)≤0
x=0 lub x=-3 parabola, ramiona w górę
x∈<-3,0>

Zad.2. Sprowadź do postaci ogólnej, podaj współrzędne wierzchołka paraboli.
a) y=2(x-1)²+3 W=(1,3)
y=2(x²-2x+2)+3
y=2x²-4x+7

b) y= -(x+3)²-1 W=(-3,-1)
t=-(x²+6x+9)-1
y=-x²-6x-10

c) y=(x+2)²+1 W=(-2,1)
y=x²+4x+5

Zad.3. Sprowadź do postaci iloczynowej i podaj jego pierwiastki.
a) y=x²-x-6
Δ=1+24=25, Δ=5
x=-2, x=3
y=(x+2)(x-3)

b) y=-x²+x+6
y=-(x²-x-6)
y=-(x+2)(x-3)
x=-2, x=3

c) y=2x²-3x-2
Δ=9+16=25, √Δ=5
x=2, x=-1/2
y=2(x-2)(x+1/2)

d) y=-2x²+4x-6
Δ<0 brak pierwiastków i postaci kanonicznej

e) y=4x²-1
y=4(x-1/2)(x+1/2)
x=1/2, x=-1/2

f) y= -x²+4x-4
y=-(x-2)²
x=2

Zad.4. Podaj zbiór wartości funkcji i przedziały monotoniczności.
a) y=x²-7 y∈<-7,+∞)
f rośnie w <0,+∞)
f maleje w (-∞,0>

b) y=-2(x-1)²+3
y∈(-∞,3>
f rośnie w (-∞,1>
f maleje w <1,+∞)

c) y=3x²+6x-2
W=(p,q)
p=-b/2a
p=-6/6=-1
q=3-6-2=-5
y∈<-5,+∞)
f rośnie w <-1,+∞)
f maleje w (-∞,-1>

Answer 3

Zad.1.
a) 2x²-3x=0
x(2x-3)=0
x=0 i 2x=3 /:2
x=3/2

b) x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0 i x+4=0
x=-4

c) x³-x²+8x-8=0
x²(x-1)+8(x-1)=0
(x²+8)(x-1)=0
x²=-8 -brak rozw.
x-1=0
x=1

d) -x³-3x²+4x+12-0
-x²(x+3)+4(x+3)=0
(x+3)(4-x²)=0
x+3=0
x=-3

4-x²=0
x²=4
x=2
x=-2

e) 2/x+1=3/x-2
(2/x)-(3/x)=-2-1
-1/x=-3 /*x
-1=-3x /:(-3)
x=1/3

f) x²+5x+6≥0
Δ=25-4*6=25-24=1
√Δ=1
x₁=(-5-1)/2=-6/2=-3
x₂=(-5+1)/2=-4/2=-2

rysujemy oś. Zaznaczamy pkt -3 i -2
Rysujemy parabole, która ma ramiona u góry
zaznaczamy +
czyli
x∈(-∞;-3> U <-2;+∞)

g) x²-25<0
(x-5)(x+5)<0
x=5
x=-5

rysujemy oś jak wyżej. Zaznaczamy pkt.
odp
x∈(-∞;-5) U (5;+∞)

h) -x²+9>0
9-x²>0
(3-x)(3+x)>0
x=3
x=-3

rysujemy oś. Zaznaczamy pkt. Parabola z ramionami w dół
Odp
x∈(-3;3)

i) x²+3x≤0
x(x+3)≤0
x=0
x=-3

Rysujemy oś. Zaznaczamy pkt. Parabola z ramionami w górę
Odp
x∈<-3;0>

Zad.2.
Postać kanoniczna y=a(x-p)²+q , gdzie (p,q) to współrzędne wierzchołka paraboli
a) y=2(x-1)²+3
p=1 q=3
W=(1,3)
y=2(x²-2x+1)+3=2x²-4x+2+3
y=2x²-4x+5-postać ogólna

b) y= -(x+3)²-1
p=-3 q=-1
W=(-3;-1)
y= -(x+3)²-1=-(x²+6x+9)-1
y=-x²-6x-10-postac ogólna

c) y=(x+2)²+1
p=-2 q=1
W=(-2;1)
y=(x+2)²+1=x²+4x+4+1
y=x²+4x+5-postać ogólna

Zad.3. Sprowadź do postaci iloczynowej i podaj jego pierwiastki.
a) y=x²-x-6
Δ=1-4*(-6)=1+24=25
√Δ=5
x₁=(1-5)/2=-4/2=-2
x₂=(1+5)/2=6/2=3
y=x²-x-6=(x+2)(x-3)

b) y=-x²+x+6
Δ=1-4*(-1)*6=1+24=25
√Δ=5
x₁=(-1-5)/(-2)=-6/(-2)=3
x₂=(-1+5)/(-2)=4/(-2)=-2
y=-x²+x+6=-(x-3)(x+2)

c) y=2x²-3x-2
Δ=9-4*2*(-2)=9+16=25
√Δ=5
x₁=(3-5)/4=-2/4=-½
x₂=(3+5)/4=8/4=2
y=2x²-3x-2=2(x+½)(x-2)

d) y=-2x²+4x-6
Δ=16-4*(-2)*(-6)=16-48<0 -brak postaci iloczynowej i brak pierwiastków równania

e) y=4x²-1=4(x²-¼)=4(x-½)(x+½)
x₁=½
x₂=-½

f) y= -x²+4x-4=-(x²-4x+4)=-(x-2)²
x₀=2


Zad.4. Zad.4. Podaj zbiór wartości funkcji i przedziały monotoniczności.
a) y=x²-7=(x+0)²-7
W=(0;-7)
y∈<-7;+∞)
f ros dla x∈(0;+∞)
f mal x∈(-∞;0)

b) y=-2(x-1)²+3
W=(1;3)
y∈(-∞;3>
f ros dla x∈(-∞;1)
f mal x∈(1;+∞)

c) y=3x²+6x-2
a=3
b=6
c=-2
p=-b/2a=-6/(2*3)=-6/6=-1
q=-Δ/4a=-(b²-4ac)/4a=-(36-4*3*(-2))/4*3=-(36+24)/12=-60/12=-5
W=(-1;-5)
y∈<-5;+∞)
f ros dla x∈(-1,∞)
f mal x∈(-∞,-1)