Question

Wyznacz zbiór wartości funkcji:

Answer 1

A) y=sinx+cosx
Obydwie funkcje przyjmują wartości od -1 do 1. Ich wykresy są przesunięte względem siebie o π/2 i tak, gdzie funkcja sinx przyjmuje wartość maksymalna, czyli 1, funkcja cosx przyjmuje wartość 0. To samo w drugą stronę, gdy cosx przyjmuje wartość 1, sinx przyjmuje wartość 0. Analogicznie z wartością minimalną, czyli -1
Wartości maksymalne i minimalne wystąpią w punktach przecięcia obu funkcji. 
Maksimum występuje w punktach x=π/4+kπ
cos(π/4)=√2/2=sin(π/4)
cos(π/4)+sin(π/4)=√2 - wartośc maksymalna
Minimum występuje w punktach x=-3π/4+kπ
cos(-3π/4)=sin(-3π/4)=-√2/2
sin(-3π/4)+cos(-3π/4)=-√2

Odp. funkcja y=sinx+cosx przyjmuje wartości od -√2 do √2 (y∈<-√2,√2>)

b) y=cosx+cos(x/2)
Obydwie funkcje przyjmują wartość od -1 do 1. Funkcja cos(x/2) to funkcja cos(x), tylko dwukrotnie "rozciągnięta" wzdłuż osi x, czyli jej okres zwiększył się dwukrotnie.
Funkcja cosx przyjmuje wartość 1 dla x=2kπ, k∈C
Funkcja cos(x/2) przyjmuje więc wartość 1 dla x=4kπ, k∈C
W połowie tych okresów, przyjmują wartości minimalne, czyli -1.
Funkcja cosx przyjmuje wartość -1 dla x=π+2kπ k∈C
Funkcja cox(x/2) przyjmuje wartość -1 dla 2π+4kπ k∈C
Funkcja cosx przyjmuje wartość 0 dla x=π/2 +kπ k∈C
Funkcja cosx przyjmuje wartość 0 dla x=π+2kπ k∈C

Można więc zauważyć, że co drugi okres, wartości maksymalne obu funkcji nakładają się na siebie, czyli maksymalna wartość sumy tych funkcji wyniesie 2.
Podczas, gdy funkcja cos(x/2) przyjmuje wartość minimalna, funkcja cosx przyjmuje wartość maksymalną. Suma obu funkcji wyniesie więc 0
Widać też, że funkcja cosx przyjmuje wartość minimalną, czyli -1, dla tych samych argumentów, co funkcja cos(x/2) przyjmuje wartość 0, sumarycznie obie funkcje dadzą więc -1
Wartość minimalna występuje dla argumentów x=7π/6+2kπ
cos(x)=cos(7π/6)=-√3/2
cos(x/2)=cos(7π/12)=-(√6-√2)/4
Wartość minimalna wynosi więc- (√6+2√3-√2)/4
Funkcja y=cosx+cos(x/2) przyjmuje wartości od -(√6+2√3-√2)/4 do 2 (y∈<-(√6+2√3-√2)/4,2>

c)y=sin(x-π/6)+sin(x+π/6)
Podobnie jak w przypadku pierwszej funkcji, wartości aksymalne i minimalne występują dla argumentów, dla których funkcje przyjmują ta samą wartość:
Wartości maksymalne występują dla argumentów x=π/2+2kπ
sin(x-π/6)=sin(π/2-π/6)=sin(π/3)=√3/2=sin(x+π/6)
sin(x-π/6)+sin(x+π/6)=√3
Wartości minimalne występują dla argumentów x=-π/2+2kπ
sin(x+π/6)=sin(-π/2+π/6)=sin(-π/3)=-√3/2=sin(x-π/6)
sin(x-π/6)+sin(x+π/6)=-√3
Funkcja y=sin(x-π/6)+sin(x+π/6) przyjmuje wartości od -√3 do √3 (y∈<-√3,√3>)