Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ,dla których równanie 2x^2+(3-2m)x-m+1=0 ma dwa różne pierwiastki x1, x2 takie, że |x1-x2| = 3

Answer 1

no nie jest to zadanie na dwie linijki... :)

 

po pierwsze musza byc dwa rozne pierwiastki rzeczywiste czyli delta musi byc wieksza od zera

 

równanie : x²-4mx-m³+6m²+m-2

 

czyli wspolczynniki rownania to: a=1, b=-4m, c=-m³+6m²+m-2

 

liczymy delte

Δ=b²-4ac = 16m²-4(-m³+6m²+m-2) = 16m²+4m³-24m²-4m+8 = 4m³-8m²-4m+8 > 0

 

dzielimy przez 4 i mamy:

m³-2m²-m+2 > 0

m²(m-2)-(m-2) >0

(m-2)(m²-1) > 0

(m-2)(m+1)(m-1) >0

 

miejsca zerowe m=2, m=1, m=-1  ta nierównosc jest prawdziwa dla

m∈ (-1,1) suma (2,∞)    (nie mam tego symbolu sumy :))

 

i teraz ten drugi warunek o wiele ciekawszy :)

 

x1 i x2 maja byc takie ze (x1-x2)²<8(m+1)

 

zajmiemy sie oczywiscie lewa strona

 

(x1-x2)² = (x1)² - 2(x1*x2) + (x2)² = (x1)²+(x2)²-2(x1*x2)   =

 

musimy dodac i odjac jedna wartosc dlaczego? zaraz sie przekonasz...

 

czyli dalej =(x1)²+(x2)²-2(x1*x2) + 2(x1*x2) - 2(x1*x2) =

=(x1)²+2(x1*x2) + (x2)² -4(x1*x2) = (x1+x2)² - 4(x1*x2)=

 

i teraz skorzystamy ze wzorow VIETE'A:

 

x1+x2 = -b/a

x1 * x2 = c/a

 

czyli dalej lewa strona to: = (-b/a)² - 4*(c/a) =   (na szczescie a = 1) wiec

=b²-4c = 16m² - 4(-m³+6m²+m-2) = 16m² + 4m³-24m²-4m+8=

=4m³-8m²-4m+8

 

czyli nasz warunek wyglada juz lepiej -

4m³-8m²-4m+8<8(m+1)

4m³-8m²-4m+8-8m-8<0

4m³-8m²-12m<0 dzielimy przez 4

m³-2m²-3m<0

m(m²-2m-3)<0

m(m²+m-3m-3)<0

m[m(m+1)-3(m+1)]<0

m(m+1)(m-3)<0

 

miejsca zerowe m =-1, m=0, m=3

m∈(-∞,-1) suma (0,3) ale z poprzedniego warunku m∈ (-1,1) suma (2,∞)

 

czyli rozwiazaniem jest czesc wspolna: m∈(0,1)suma (2,3)

 

to wszystko...

 

jakby co to pisz - pomoge

 

Answer 2

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jeden z pierwiastków równania

jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.