Question

wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p2 - 1(p kwadrat odjąć 1) jest liczbą podzielną przez 24

Answer 1

zał.:

p jest pierwsza i p>3

teza:

p²-1=24k   k∈C

dowód:

p²-1=(p+1)(p-1)

p jest liczbą pierwszą i większą od 3, czyli jest liczbą nieparzystą, parzyste są więc (p+1) i (p-1), są to też 2 kolejne liczby parzyste, a wśród dwóch takich liczb jest jedna podzielna przez 4, druga zaś przez 2, więc liczba (p+1)(p-1) jest podzielna przez 8, wśród 3 kolejnych liczb całkowitych jest jedna podzielna przez 3, (p-1);p;(p+1) to 3 kolejne liczby całkowite, ale p nie jest podzielna przez 3, gdyż jest pierwsza i większa od 3, zatem jedna z liczb (p-1); (p+1) jest podzielna przez 3, liczby 8 i 3 są względnie pierwsze, więc liczba (p+1)(p-1) jest podzielna przez 24.