Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wielomian W(x) jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli:

a)W(x)=3x³-2kx²+(k+1)x+4; x-2
b)W(x)=-2x⁴+5kx²-(3k-2)x+4; x+1
c)W(x)=2x³+(k²+1)x²+x-k; x+1

Answer 1

Jeśli wielomian jest podzielny przez dwumian tzn., że po wstawieniu pierwiasta do równania wielomian będzie równy zero, np.
Jeśli mamy dowolny wielomian W(x)= ax^2 +bx+c i jest podzielny przez dwumian x-1 tzn. że liczba 1 jest pierwiastkiem, a z tego wynika że W(1)=0

Przechodząc do rozwiązania:
1. W(x)=3x³-2kx²+(k+1)x+4; x-2, czyli pierwiastkiem równania jest liczba 2, więc liczymy
W(2) = 3*2³-2*k*2²+(k+1)*2+4= 3*8-2*k*4+2k+2+4=24-8k+2k+6=-6k+30 i to musi być równe zero, czyli
-6k+30=0
6k=30
k=5
Ogólne równanie wielomianu jest
W(x) = 3x³-10x²+6x+4

2. W(x)=-2x³+5kx²-(3k-2)x+4; x+1
pierwiastkiem jest -1
W(-1) = -2*(-1)³+5k*(-1)²-(3k-2)*(-1)+4=2+5k+3k-2+4=8k+4
8k+4=0
8k=-4
k=-1/2
W(x)= -2x³-(5/2)x²+(7/2)x+4; x+1

3.W(x)=2x³+(k²+1)x²+x-k; x+1
perwiastkiem jest -1
W(-1)=2(-1)³+(k²+1)*(-1)²-1-k=-2+k²+1-1-k=k²-k-2
k²-k-2=0
liczymy delte
∆=b²-4ac=1-4*(-2)=1+8=9
√∆=3
k1= (-b+√∆)/2a=(1+3)/2=2
k2=(-b-√∆)/2a=(1-3)/2=-1
W1(x)=2x³+5x²+x-2
W2(x)=2x³+2x²+x+1