Question

Wykaż, że dla każdego n∈N₊ wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-r), jeśli:

W(x)=nxⁿ⁺¹-(n-1)xⁿ-1, r=1

Answer 1

Co to znaczy, że W(x) jest podzielny przez (x-r) ?

To znaczy, że W(x) da się przedstawić jako:
W(x) = (x-r) * Q(x), gdzie Q jest jakimś wielomianem.

Widać stąd, że taka sytuacja zachodzi tylko wtedy, gdy W(r)=0 bo:
Gdy W(x) = (x-r) * Q(x), to
W(r) = (r-r) * Q(r) = 0 * Q(r) = 0

W drugą stronę, gdyby W(r) <> 0, to wtedy nie może być W(x) = (x-r) * Q(r), bo (r-r) * Q(r) = 0 <> W(r)

Czyli wystarczy pokazać, że dla danego wielomianu W(x), zachodzi równość: W(r) = 0

Mamy:
W(x) = n * x^(n+1) - (n-1)*x^n - 1
oraz
r = 1

Czyli:
W(r) = W(1) = n * 1^(n+1) - (n-1)*1^n - 1 =
= n * 1 - (n-1)*1 - 1 = n - (n-1) - 1 = n - n + 1 - 1 = 0