Question

Wyznacz n-ty wyraz oraz sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), mając dany jego pierwszy wyraz a1, różnicę r oraz n, gdy:

a1 = 2, r = 3, n = 9
a1 = -3, r = -2, n = 13

Pomóżcie bo nie wiem jak się wziąć mam, za to zadanie.

Answer 1

Wyznacz n-ty wyraz oraz sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), mając dany jego pierwszy wyraz a1, różnicę r oraz n, gdy:

a1 = 2, r = 3, n = 9
(an)=a1 +(n-1)r
(an)=2 +(9-1)*3
(an)=2 +(8)*3
(an)=2 +24
(an)=26

Sn=(a1+an)/2 * n
Sn=(2+26)/2 * 9
Sn=(28)/2 * 9
Sn=14 * 9
Sn=126

a1 = -3, r = -2, n = 13
(an)=a1 +(n-1)r
(an)=-3 +(13-1)*(-2)
(an)=-3 +(12)*(-2)
(an)=-3 -24
(an)=-27

Sn=(a1+an)/2 * n
Sn=(-3-27)/2 *13
Sn=(-30)/2 * 13
Sn=-15 * 13
Sn=-195

Answer 2

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym różnica każdych dwu kolejnych wyrazów wynosi r.

dla dowolnego n ∈ N zachodzi an + r = a(n+1)

stąd prosto wyprowadzić wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

an = a1 + (n-1)r

(skoro każde kolejne dwa wyrazy różnią się o r to:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
...
an = a(n-1) + (n-1)r
)

Wzór ogólny na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego też jest prosty do znalezienia:

S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S3 + a4
...
Sn = S(n-1) + an

zatem:

S1 = a1
S2 = a1 + a2 = a1 + a1 + r = 2a1 + r
S3 = S2 + a3 = 2a1 + r + a1 + 2r = 3a1 + 3r

Nie widać stąd za bardzo jak miałby wyglądać wzór ogólny (jak to było w wypadku n-tego wyrazu c. arytm).

Spróbujmy więc inaczej:

jest n wyrazów
Sn = a1 + a2 + a3 + .. + an
Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + .. + (a1 + (n-1)r)
wyciągnijmy wszystkie a1, których jest n-sztuk
Sn = n * a1 + (r + 2r + ... + (n-1)r)
wyciągnijmy r przed nawias:
Sn = n * a1 + r(1 + 2 + ... + (n-1))
prosto zauważyć, że suma k pierwszych liczb naturalnych wynosi dokładnie tyle, co k [ilość tych liczb] * (1 + k)/2 [średnia z tych liczb], stąd wzór wynosi: k(k + 1)/2
dla k = n-1:
(n-1)n/2

zatem:

Sn = n * a1 + r * n * (n - 1) / 2

obliczenie odpowiednich wartości pozostawiam zadającemu.