Question

Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość 5√6cm, a długość krawędzi podstawy jest równa 10 cm. Oblicz długość krawędzi bocznej i miarę kąta jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy?

Answer 1

Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość 5√6cm, a długość krawędzi podstawy jest równa 10 cm. Oblicz długość krawędzi bocznej i miarę kąta jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy?

H = 5√6 cm - wysokość ostrosłupa
a = 10 cm - krawędź podstawy ( kwadratu)
d = a√2 - wzór na przekatną kwadratu

b = ? - krawedź boczna ostrosłupa
α = ? - kąt jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy

1.Obliczam przekątną d kwadratu (podstawy)

d = a√2
d = 10 cm*√2
d = 10√2 cm

2. Obliczam krawędź boczną b ostrosłupa
z tw. Pitagorasa
z trójkata prostokatnego gdzie:
H - przyprostokatna
1/2d - przyprostokatna
b - przeciwprostokatna

b² = (1/2d)² + H²
b² = (1/2*10√2)² + (5√6)²
b²= (5√2)² + 25*6
b² = 25*4 + 150
b² = 100 + 150
b² = 250
b = √250
b = √25*√10
b = 5√10

3. Obliczam kąt α jaki tworzy krawędź boczna z płaszczyzną podstawy
z trójkata prostokatnego gdzie:
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kata α
1/2d - przyprostokatna leżąca przy kącie α
b - przeciwprostokatna

tg α = H : (1/2d)
tg α = 5√6 : (1/2*10√2)
tg α = 5√6 : ( 5√2)
tg α = √6 : √2
tg α = √(6/2)
tg α = √3

α = 60°