Question

Wykaż że ze wszystkich trójkątów prostokątnych w których suma długości przyprostokątnych jest ustaloną liczbą największe pole ma trójkąt równoramienny

Answer 1

Suma długości przyprostokątnych jest ustaloną liczbą - oznaczmy ją przez s. Gdy jedna przyprostokątna ma długość x, to wtedy druga ma długość s-x. Pole takiego trójkąta opisuje wtedy wyrażenie:



Z własności funkcji kwadratowej wiemy, że największą wartością, jaką ona przyjmuje, gdy ramiona paraboli są skierowane w dół, jest druga współrzędna wierzchołka paraboli, zaś argumentem, do którego największa wartość została przyporządkowana, jest pierwsza współrzędna wierzchołka.

Zatem długość boku x przy największym polu to:



Druga przyprostokątna to:



Zatem dwa boki mają tę samą długość, więc jest to trójkąt równoramienny.