Question

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność

pierwiastek z(2⁵⁰ + 1) +pierwiastek z( 2⁵⁰-1)< 2²⁶

Answer 1

√(2⁵⁰+1) + √(2⁵⁰-1)< 2²⁶
obie strony są dodatnie, podnieśmy więc je do kwadratu, otrzymamy wzór skróconego mnożenia:
[√(2⁵⁰+1)]² + 2*√(2⁵⁰-1)*√(2⁵⁰+1) + [√(2⁵⁰-1)]² < 2⁵²
2⁵⁰+1 + 2*√[(2⁵⁰-1)(2⁵⁰+1)] + 2⁵⁰-1 < 2⁵²
upraszczają się jedynki i mamy:
2*2⁵⁰ + 2*√(2¹⁰⁰-1) < 2⁵²
2⁵¹ + 2*√(2¹⁰⁰-1) < 2⁵²
teraz przenosimy 2⁵¹ na prawo i wyciągamy je przed nawias:
2*√(2¹⁰⁰-1) < 2⁵²-2⁵¹
2*√(2¹⁰⁰-1) < 2⁵¹(2-1)
zostaje nam:
2*√(2¹⁰⁰-1) < 2⁵¹
znów do kwadratu:
2²*(2¹⁰⁰-1) < 2¹⁰²
(2¹⁰⁰-1) < 2¹⁰²/2²
2¹⁰⁰-1 < 2¹⁰⁰
po przeniesieniu 2¹⁰⁰ na prawo zostaje nam:
-1 < 0, więc nierówność jest prawdziwa