Question

Wykaż że liczby całkowite x, y, z spełniaja równanie
x^2 + y^2+ z^2=2010 to co najwyżej jedna z liczb x, y, z,dzieli się przez 4

Answer 1

I) Zakładamy, że każda z liczb x, y, z jest podzielna przez 4,
czyli x= 4k, y= 4l, z= 4m
stąd x²+ y²+ z²= (4k)²+ (4l)²+ (4m)²= 16(k²+ l²+ m²)
16(k²+ l²+ m²)= 2010, zachodzi sprzeczność, bo 2010 nie dzieli się przez 16.
II)Zakładamy, że tylko dwie liczby, np. x i y są podzielne przez 4, czyli x= 4k, y= 4l i liczba z jest nieparzysta
wtedy lewa strona równania
(4k)²+ (4l)²+ z² będzie nieparzysta {suma 16k²+ 16l²+ z² jest liczbą nieparzystą}, a powinna być liczba 2010- liczba parzysta,
to znaczy, że z= 2m jest liczbą parzystą- podzielną przez dwa:
(4k)²+ (4l)²+ (2z)²= 16k²+ 16l²+ 4m²= 4(4k²+ 4l²+ m²)
4(4k²+ 4l²+ m²)= 2010, zachodzi sprzeczność, bo 2010 nie dzieli się przez 4.
III) Stąd wniosek, że jeśli x²+ y²+ z²= 2010
to co najwyżej jedna z liczb x, y, z,dzieli się przez 4
co należało wykazać.
{co najwyżej, tzn., że jedna z liczb może być podzielna przez 4, albo żadna}