Question

Wykaż, że liczba n
3 + 11n jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej n.

Answer 1

Jeśli n=1, to:

liczba ta dzieli się przez 6.

 

Załóżmy indukcyjnie, że dla pewnej liczby naturalnej k liczba

 

Twierdzimy, że

 

Dowód:

 

Liczba jest liczbą parzystą, więc liczba dzieli się przez 6, jest więc równa

zatem

 

Albo- jeśli nie znasz indukcji:

 

Iloczyn n(n+1)(n+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb jest co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3, więc iloczyn ich dzieli się przez 6.

 

Iloczyn n(n-3) jest liczbą parzystą, bo albo n, albo (n-3) jest liczba parzystą. Stąd- iloczyn 3n(n-3) dzieli się przez 6.

 

Różnica liczb podizelnych przez 6 jest liczbą podzielną przez 6, więc liczba dzieli się przez 6.