Question

Wykaż, że funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Answer 1

z definicji f. roznowartosciowej zakladamy, ze  dla x₂≠x₁⇔ f(x₁)≠f(x₂)

 

1/2 (x₁)³+2- 1/2(x₂)³-2≠0

1/2 x₁³ - 1/2x₂³≠0  /*2

x₁³-x₂³≠0

x₁³≠x₂³ /stronami pierwiastkujemy

x₁≠x₂  c.n.d.

  D=R, Y=R wykres w zalaczniku

Mozna to tez wykazac z pochodnej f'(x)≥0

f'(x)=3/2x² w 0 punkt przegiecia, funkcja jest stale rosnaca, z tego wynika, ze jest roznowartosciowa

Answer 2

Aby zbadać czy funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie musimy sprawdzić, czy z równości f(x₁) = f(x₂), gdzie x₁, x₂ ∈ D wynika równość x₁ = x₂, to znaczy, czy zachodzi implikacja: Dla każdego x₁, x₂ ∈ D (f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂).

 

 

Zatem:

Zał. x₁, x₂ ∈ D i f(x₁) = f(x₂)

Stąd:

Zatem z równości f(x₁) = f(x₂) wynika równość x₁ = x₂, a to oznacza, że funkcja f(x) jest róźnowartościowa w swojej dziedzinie.