Question

Dane są: czworokąt ABCD o wierzchołkach: A=(-6,-2), B=(-4,-3), C=(-2,1), D=(-4,2) oraz czworotkąt EFGH o wierzchołkach E=(-2,-7), f=(4,-10), G=(10,2), H=(4,5). Wiedząc, że czworokąt EFGH jest obrazem czworokąta ABCD w pewnej jednokładności, wyznacz:

a) współrzędne środka jednokładności i skalę dla k>0

b) współrzędne środka jednokładności i skalę dla k<0

Answer 1

Teoria:

Obrazem punktu P = (x, y) w jednokładności o środku S = (a, b) i skali k ≠ 0 jest punkt P' = (x', y') taki, że:

x' = (1 - k)·a + kx

y' = (1 - k)·b + ky

Zapis oznacza obrazem punktu P w jednokładności o S i skali k jest punkt P'.

Jeśli k > 0, to dany punkt i jego obraz leży po tej samej stronie punktu S, a jeśli k < 0, to to dany punkt i jego obraz leżą po przeciwnej stronie punktu S.

 

Wyznaczymy skalę jednokładności, czyli obliczmy ile razy zwiększyły się boki czworokąta.

Najpierw rysujemy czworokąty (patrz zał. 1) i widzimy, że bok AB jest równoległy do EF i do GH, zatem obrazem boku AB będzie bok EF, jeśli skala będzie większa od zera, a bok GH jeśli skala będzie mniejsza od zera.

A=(-6,-2), B=(-4,-3), C=(-2,1), D=(-4,2)

E=(-2,-7), f=(4,-10), G=(10,2), H=(4,5)

 

k > 0

Wyznaczymy współrzędne środka jednokładności.

Wiemy, że i k = 3, korzystając z zależności między współrzędnymi obrazu i danego punktu w jednokładności otrzymujemy:

oraz

zatem:

(patrz załącznik 2)

 

k < 0

Wyznaczymy współrzędne środka jednokładności.

Wiemy, że i k = - 3, korzystając z zależności między współrzędnymi obrazu i danego punktu w jednokładności otrzymujemy:

oraz

(patrz załącznik 3)