Question

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 1, kąt ABC ma miarę 60 stopni, a przekątna AC jest prostopadła do boku BC. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trapezu wokół prostej zawierającej bok BC.

Answer 1

Aby obliczyć objętość bryły, która powstanie z obrotu trapezu ABCD wokół prostej zawierającej bok BC, należy od objętości dwóch sklejonych podstawami stożków powstałych z obrotu trójkąta ABC i trójkąta ACE, odjąć objętość dwóch sklejonych podstawami stożków powstałych z obrotu trójkąta CDF i trójkąta DFE (patrz załącznik)

Obliczamy długość odcinków (boków) potrzebnych do obliczenia objętości bryły.
|CD| = 1
|∢ABC| = 60°
Trapez ABCD jest równoramienny, więc |AD| = |BC|

|∢BAD| = |∢ABC| = 60°
|∢ADC| = |∢BCD| = 120°
ΔABC - Δprostokątny, bo |∢BAC| = 90°
|∢BAC| = 30° ⇒ |∢CAD| = |∢BAD| - |∢BAC| = 60° - 30° = 30°
|∢ACD| = |∢BCD| - |∢BAC| = 120° - 90° = 30°
Zatem ΔACD jest równoramienny, czyli |AD| = |CD| = 1, stąd
|BD| = |AD| = 1

Z tw. cosinusów obliczymy długość przekątnej AC:
|AC|² = |AD|² + |CD|² - 2 ·|AD|· |CD| · cos ∢ADC
|AC|² = 1² + 1² - 2 · 1  · 1  · cos 120°
|AC|² = 1 + 1 - 2  · cos (180° - 60°)
|AC|² = 2 - 2  · (- cos 60°)
|AC|² = 2 - 2  · (- ½)
|AC|² = 2 + 1
|AC|² = 3
|AC| = √3

Z tw. Pitagorasa obliczymy długość podstawy AB (ΔABC - Δprostokątny)
|AB|² = |AC|² + |BC|²
|AB|² = (√3)² + 1²
|AB|² = 3 + 1
|AB|² = 4
|AB| = 2

Trójkąty ABE i DCE to trójkąty równoboczne i stąd:
|AB| = |AE| = |BE| = 2
|CD| = |DE| = |CE| = 1
DF to wysokość trójkąta CDE, stąd |DF| = √3 / 2

Obliczymy objętość bryły:

V = objętość stożka o promieniu AC i wysokości BC + objętość stożka o promieniu AC i wysokości CE -  objętość stożka o promieniu DF i wysokości CF - objętość stożka o promieniu DF i wysokości FE

V = ⅓  · π  · |AC|²  · |BC| + ⅓  · π  · |AC|²  · |CE| - ⅓  · π  · |DF|²  · |CF| - ⅓  · π  · |DF|²  · |FE| = ⅓  · π  · |AC|²  · (|BC| + |CE|) - ⅓  · π  · |DF|²  · (|CF| + |FE|) = ⅓  · π  · |AC|²  · |BE| - ⅓  · π  · |DF|²  · |CE| = ⅓  · π  · (|AC|²  · |BE| - |DF|²  · |CE|) = ⅓  · π  · [(√3)²  · 2 - (√3 / 2)²  · 1] = ⅓  · π  · (3  · 2 - ¾) = ⅓  · π  · (6 - ¾) = 2π - ¼ π = ⁸/₄ π - ¼ π = ⁷/₄ π = 1¾ π

 

Odp. Objętość bryły powstałej z obrotu trapezu wokół prostej zawierającej bok BC wynosi ⁷/₄ π.