Question

Współczynniki f. kwadratowej f(x)=ax^2 + bx + c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny Wyznacz wartość współczynników a,b,c, jeżeli wiadomo że f(2)=15,75 oraz f(-1)=2,25

Answer 1

f(x) = a x^2 + b x + c

 

zatem

f(2) = 4 a + 2 b + c = 15,75

f(-1) = a - b + c = 2,25

Mamy

4a + 2b + c = 15,75

a - b + c = 2,25

b /a = c/b  => b^2 = a*c

------------------------------------

a = 2,25 + b - c

4*( 2,25 + b - c) + 2 b + c = 15,75

b^2 = ( 2,25 + b - c)*c

-------------------------------------------

9 + 4 b - 4 c + 2 b + c = 15,75

b^2  =  2,25 c + b*c - c^2

-------------------------------

6 b - 3 c = 6,75  / : 3

2 b - c = 2,25

c = 2 b - 2,25

----------------

b^2  =  2,25*( 2 b - 2,25)+ b*( 2b - 2,25) - ( 2 b - 2,25)^2

b^2  =  4,5 b  - 5,0625 + 2 b^2 - 2,25 b - ( 4 b^2 - 9 b + 5,0625)

3 b^2 - 11,25 b + 10,125 = 0  / : 3

b^2 - 3,75 b + 3,375 = 0

-------------------------------

delta = ( -3.75)^2 - 4*1*3,375 = 14,0625 - 13,5 = 0,5625

p( delty) = 0,75

b = [ 3,75 - 0,75[/2 = 1,5       lub    b = [ 3,75 + 0,75]/2 = 4,5/2 = 2,25

więc

c = 2 b - 2,25 = 3 - 2,25 = 0,75    lub  c = 4,5 - 2,25 = 2,25

oraz

a = 2,25 + b - c = 2,25 + 1,5 - 0,75 =  3   lub    a = 2,25 + 2,25 - 2,25 = 2,25

Odp.

a = 3,  b = 1,5, c = 0,75

lub

a = 2,25 ,  b = 2,25,  c = 2,25    - ciąg geometryczny  stały

=====================================================