Question

Witam, proszę o dokładne rozwiązanie zadań w załączniku i wytłumaczenie ich

Answer 1

10.
c=|AB|=22, b=|AC|=15 , a=|BC|=13
a) miara największego kąta:
Trójkąt ma kat o największej mierze naprzeciw najdłuższego boku (tu c=|AB|). Należy tutaj skorzystać z twierdzenia cosinusów:
c²=a²+b² - 2ab·cosγ
cosγ = (a²+b²-c²)/2ab =(13²+15²-22²)/(2*13*15)=-90/390= -0.23077
γ = arccos(cosγ) = arccos(-0.23077) = 103.342°

b) promień okręgu wpisanego w trójkąt można policzyć ze wzoru:
r=√((p-a)(p-b)(p-c)/p)
p- jest to połowa obwodu:
p=(a+b+c)/2 = (22+15+13)/2 = 25
r=√((25-13)(25-15)(25-22)/25) = √(12*10*3)/25 = √(360/25) = 6√10 /5
c)promień okręgu opisanego na trójkącie można policzyć ze wzoru:
R=abc/(4rp) = 13*15*22/(4* 6√10 /5 * 25) = 4290/(120√10) = 4290√10 /1200=143√10 /40

11.
a) Pole trójkąta AEC można policzyć ze wzoru:
P_AEC=a*b*sin(a,b) = 2*4*sin45°=8*√2/2=4√2
b) Zauważmy że kąt CEA i DEB są kątami wierzchołkowymi więc mają równe miary. Kąty ACD i ABD również mają równe miary ponieważ są oparte na tym samym łuku. Stąd wniosek że trójkąty AEC i BEC są podobne. Odpowiednikiem boku AE jest bok ED, policzmy zatem skalę:
k=|ED|/|AE|=3/4
Pole trójkąta AEC można więc przeskalować do kwadratu , otrzymując pole trójkąta BEC :
P_BEC = P_AEC * k² = 4√2 * 9/16 =9/4 √2

12.
a)Zacznijmy od miar kątów. Ich suma w trójkącie wynosi 180°
Ponieważ ich stosunek wynosi 3 : 2 : 1 można sobie te miary zapisać jako 3α, 2α, α:
3α+ 2α+ α = 6α=180°
α=30°
2α=60°
3α=90°

Mamy kąty i mamy najkrótszy bok. Widzimy ze kąt ACB jest prosty. Mało tego, trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego(bo kąt CAB=60°), którego długość jest równa |AB| i dwa razy dłuższa niż |AC|=10. Z tego wynika że:
|AB|=2|AC|=2*10=20.
Bok |CB| można policzyć z pitagorasa:
|AB|²=|AC|²+|CB|²
|CB|²=|AB|²-|AC|² = 400-100 = 300
|CB|=√300 = 10√3
Pole trójkąta ABC:
P_ABC=ah/2=|AC|*|BC|/2=10*10√3/2=50√3
b) W trójkącie prostokątnym promień koła opisanego na nim zawsze jest róny połowie przeciwprostokątnej:
R=|AB|/2 = 20/2 = 10
Jego pole liczymy ze wzoru:
P=πR²=π*10²=100π