Question

Witam, mam obiczyć monotoniczność ciągu

Pytanie to: czy dobrze "dochodzę" do rozwiązania?

Answer 1

Dla określenia monotoniczności ciągu, należy zbadać znak różnicy   a(n+1) - a(n).

(to jest zapis wyrazu a z indeksem n+1).

a(n+1) = [2(n+1)+3]/(n+1+1) =(2n+2+3)/(n+2) = (2n+5)/(n+2)

a(n+1) - a(n) = (2n+5)/(n+2) - (2n+3)/(n+1) =  (sprowadzamy do wspólnego mianownika)

= [(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)] / [(n+2)(n+1)] =

= (2n²+2n+5n+5-2n²-4n-3n-6) / [(n+2)(n+1)] =  -1/[(n+2)(n+1)]  < 0

   ponieważ licznik ułamka jest ujemny, a mianownik dodatni (pamiętaj, że w ciągach

   zawsze  n∈N⁺).

Ponieważ różnica  a(n+1) - a(n) < 0, zatem dany ciąg jest malejący.