Question

Wiedząc że pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 360 cm², a pole powierzchni bocznej wynosi 240 cm², wyznacz tangens kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

Answer 1

Wiedząc że pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 360 cm², a pole powierzchni bocznej wynosi 240 cm², wyznacz tangens kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy

Pc = 360 cm² - pole powierzchni całkowitej stozka
Pb = 240 cm² - pole powierzcni bocznej stożka
H - wysokość stożka
l - tworząca stożka
tg α = ? - tg kata nachylenia tworzącej l do płaszczyzny podstawy (do promienia podstawy)

1. Obliczam pole podstawy Pp
Pc = Pp + Pb
Pp = Pc - Pb
Pp = 360 cm² - 240 cm²
Pp = 120 cm²

2. Obliczam promień podstawy r
Pp = 120 cm²
Pp = πr²
πr² = 120 cm² /: π
r² = 120 : π
r = √(120/π)
r = √120 / √π
r = √4*√30 :√π
r = 2√30: √π
r= [2√30: √π]*[ √π : √π] usuwam niewymierność mianownika
r = 2√30*√π : π

3. Obliczam tworzacą l stożka
Pb = 240 cm²
Pb = π*r*l

π*r*l = 240 cm²
π*(2√30*√π : π) *l = 240
redukuje się π
(2√30*√π)*l = 240
l = 240 : (2√30*√π)
l = [120 : (√30*√π)]*[√30*√π : √30*√π] - usuwam niewymierność mianownika
l =( 120* √30*√π) : 30π
l = 4√30√π: π

4. Obliczam wysokość H stożka
z tw. Pitagorasa
H² + r² = l²
H² = l² - r²
H² = (4√30√π: π)² - 2√30*√π : π
H² = 16*30*π : π² - 4*30*π : π²
H² = 480:π - 120 : π
H² = 360:π
H = √360 : √π
H = √36*√10: √π
H = 6√10 : √π

5. Obliczam tangens α
tg α = H : r
tg α = ( 6√10 : √π ) : (2√30*√π : π)
tg α = (6√10 : √π ) : (2√10*√3 : √π
tg α = (6√10 : √π) *(√π : 2√10*√3 )
tg α = 3 : √3
tg α = (3:√3)*(√3 : √3) usuwam niewymierność mianownika
tg α = 3√3 : 3
tg α = √3

Podaję dodatkowo:
Gdyby trzeba obliczyć kąt α = 60°

Odp. Tangens kąta nachylenia tworzącej l do płaszczyzny podstawy (do promienia podstawy) wynosi √3