Question

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie x⁵=x?

Answer 1

X⁵=x
x⁵ - x = 0
x(x⁴ - 1) = 0
Wielomian rzeczywisty stopnia n ma n pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej. W szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty. Z kolei reguła Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając x na − x można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków.
Biorąc to pod uwagę to równanie będzie miało trzy pierwiastki: x = 0 oraz jeden parzysty i jeden nieparzysty pierwiastek.
x(x⁴ - 1) = 0
x(x² - 1)(x² + 1) = 0
x(x - 1)(x + 1)(x² + 1) = 0, czyli
x₁ = 0
x₂ = 1
x₃ = -1