Question

W układzie współrzędnych punkty A= (2;5) i C=(6;7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD i współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

Answer 1

A = (2; 5) ,  C = (6; 7)

S - środek odcinka AC

 

Mamy

S = ( (2+6)/2 ; (5+7)/2 ) = ( 4; 6 )

Prosta AC

y = ax + b

 

5 = 2a + b

7 = 6a + b

--------------- odejmujemy stronami

7 - 5 = 6a - 2a

2 = 4a

a = 1/2

b = 5 - 2a = 5 - 2*(1/2) = 5 - 1 = 4

zatem pr AC ma równanie:

y = (1/2) x + 4

================

Prosta BD jest symetralną odcinka AC, czyli jest prostopadla do pr AC

i przechodzi przez punkt S = (4 ; 6)

Mamy

(1/2)*a1 = - 1

a1 = -2

y = -2x + b1  oraz  S = ( 4; 6)

czyli

6 = -2*4 + b1

b1 = 6 + 8 = 14

pr BD ma równanie:

y = -2x + 14

==============

I AS I ^2 = (4 - 2)^2 + (6 - 5)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 +1 = 5

Niech

B = (x; y)

Wtedy

I BS I^2 = I AS I^2 = 5

czyli

I BS I^2 = (4 - x)^2 + ( 6 - y)^2  oraz  y = -2x + 14

czyli

( 4 - x)^2 + (6 - (-2x + 14))^2 = 5

16 - 8x + x^2 + ( 2x  - 8)^2 = 5

16 - 8x + x^2 + 4x^2 - 32x + 64 = 5

5x^2 - 40x + 80 = 5

5x^2 - 40x + 75 = 0 / : 5

x^2 - 8x + 15 = 0

delta = 64 - 4*1*15 = 64 - 60 = 4

x = [ 8 - 2]/2 = 3  lub  x = [ 8 + 2]/2 = 5

zatem

y = -2*3 + 14 = -6 + 14 = 8    lub   y = -2*5 + 14 = -10 + 14 = 4

 

Odp. B = (5; 4)  oraz  D = (3; 8)

==============================