Question

W trójkącie ABC bok AB jest o 4 dłuższy od boku BC, zaś |∢ACB| = 135°. Wiedząc, że |AC| = 3√2 , oblicz:

a) obwód trójkąta ABC;

b) promień koła opisanego na trójkącie ABC;

c) sinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku B.

Answer 1

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

|AB| = a

|BC| = b

|AC| = c

α - kąt wewnętrzny przy wierzchołku A

β - kąt wewnętrzny przy wierzchołku B

γ - kąt wewnętrzny przy wierzchołku C

 

Bok AB jest o 4 dłuższy od boku BC: a = b + 4

|∢ACB| = γ = 135°

|AC| = c = 3√2

 

a)

O - obwód trójkąta ABC

O = a + b + c

a = b + 4

c = 3√2

 

Zatem:

O = b + 4 + b + 3√2

O = 2b + 4 + 3√2

 

Aby obliczyć długość boku b skorzystamy z tw. cosinusów:

W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

 

Stąd:

 

 

 

Zatem:

O = 2b + 4 + 3√2 = 2·1 + 4 + 3√2 = 2 + 4 + 3√2 = 6 + 3√2

 

Odp. Obwód trójkąta ABC wynosi 6 + 3√2.

 

b)

R - promień koła opisanego na trójkącie ABC

a = b + 4 = 1 + 4 = 5

γ = 135°

 

Skorzystamy z tw. sinusów:

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu (koła) opisanego na trójkącie.

 

Stąd:

 

Odp. Długość promienia koła opisanego na trójkącie ABC wynosi 2,5√2.

 

c)

β - kąt wewnętrzny przy wierzchołku B

c = 3√2

R = 2,5√2

 

Skorzystamy z tw. sinusów (patrz podpunkt b):

 

Odp. Sinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku B wynosi ⅗.