Question

W trapez o krótszej podstawie długości 7 cm wpisano okrąg, którego punkt styczności z jednym ramieniem dzieli to ramię na odcinki długości 4cm i 9 cm. Oblicz obwód trapezu

Answer 1

Skorzystamy z własności, że punkty styczności okręgu z ramionami kąta są równo odległe od jego wierzchołka.
Punkty styczności S₁, S₂, S₃, S₄ wyznaczają na bokach trapezu równe odcinki (patrz załącznik).
Poprowadzimy wysokości z wierzchołków krótszej podstawy i średnicę okręgu wpisanego to pozwala ustalić długość poszczególnych części boków trapezu ( patrz drugi załącznik).
Z treści zadania:
|DC| = 7 cm
|CS₂| = 4 cm
|BS₂| = 9 cm
stąd
|BC| = |BS₂| + |CS₂| = 4 + 9 = 13 cm
Z podanych wyżej własności wynika:
|CS₂| = |CS₃| = 4 cm
|DS₃| = 7 - |CS₃| = 7 - 4 = 3 cm
|DS₃| = |DS₄| = 3 cm
|FE| = |DC| = 7 cm
|FS₁| = |DS₃| = 3 cm
|ES₁| = |CS₃| = 4 cm
|S₁B| = | = |BS₂| = 9 cm
|EB| = |S₁B| - |ES₁| = 9 - 4 = 5 cm
|AS₄| = |AS₁| = x
|AF| = |AS₁| - |FS₁| = x - 3

z ΔEBC (żółty) obliczymy |EC|
|BC|² = |EC|² + |EB|²
|EC|² = |BC|² - |EB|²
|EC|² = 13² - 5²
|EC|² = 169 - 25
|EC|² = 144
|EC| = √144 = 12 cm
|EC| = |DF| = 12 cm
z ΔAFD obliczymy x
|AD|² = |AF|² + |DF|²
(|AS₄| + |DS₄|)² = (x - 3)² + 12²
(x + 3)² = (x - 3)² + 12²
x² + 6x + 9 = x² - 6x + 9 + 144
x² + 6x - x² + 6x = 9 + 144 - 9
12x = 144 /:12
x = 12

|AB| = 12 - 3 + 3 + 4 + 5 = 21 cm
|AD| = 12 + 3 = 15 cm
Obw. = |AB| + |BC| + |CD| + |AD|
Obw. = 21 + 13 + 7 + 15 = 56 cm