Question

W ramach zachęcania ludzi do myślenia będę wrzucał zadania, oto pierwsze z nich (jeśli pójdzie zbyt łatwo to poziom będzie wzrastał :> ):

Liczby a,b,c są rzeczywiste dodatnie. Należy udowodnić, że:

Powodzenia!

Answer 1

najlatwiej udowodnic to na tym, ze srednia arytmetyczna jest zawsze wieksza badz wieksza sredniej geometrycznej
obliczamy te nawiasy, co daje
(ab+ac+b2+bc)(a+c)>=8abc
a2b+abc+a2c+ac2+ab2+b2c+abc+bc2>=8abc   - w tym momencie dzielimy przez 8 i po lewej stronie bedzie srednia arytmetyczna tych wszystkich liczb
(a2b+abc+a2c+ac2+ab2+b2c+abc+bc2) /8 >abc  
i teraz z tego nawiasu zamiast sredniej arytmetycznej robimy srednia geometryczna
(a2b+abc+a2c+ac2+ab2+b2c+abc+bc2) /8  > pierwiastek 8 stopnia z (a2b*abc*a2c*ac2*ab2*b2c*abc*bc2)
(a2b+abc+a2c+ac2+ab2+b2c+abc+bc2) /8 >pierwiastek 8 stopnia z (a8b8c8)
(a2b+abc+a2c+ac2+ab2+b2c+abc+bc2) /8 > abc
co kończy dowód na podstawie wykazania, że srednia arytmetyczna jest wieksza badz rowna geometrycznej