Question

Daję dwa zadania, znowu z serii "Matma rozwija myślenie" - czekam tylko na dwa pełne rozw. i tylko wtedy nie zgłaszam jako spam. Pojedynczych rozwiązań nawet nie piszcie.

Treść:

1. Znaleźć rozwiązania x,y,z w liczbach całkowitych dodatnich

2. Znaleźc rozwiązania x,y,z w liczbach całkowitych dodatnich

Acha i jeszcze jedno, spamerów będę wieszał za ja... błko Adama. Jeśli maci ejakies pytania co do treści, macie pisac priv, a nie jako rozw., bo wtedy nie będzie litości

Jeśli ktos by się pytał, to chodzi o wypisanie wszystkich możliwych liczb spełniajacych te równania i dowód ze są to jedyne rozwiązania i więcej nie ma (samo wypisanie przykładowych liczb nie jest rozwiązaniem)

Answer 1

1) x²+y²-3z²=0

dowolna liczba całkowita dodatnia podniesiona do kwadratu ma resztę z dzielenia przez 3: 1 lub 0, co łatwo dowieść. Zatem skoro prawa strona równania jest podzielna przez 3, to lewa też musi być. 3|3z², zatem 3|(x²+y²). Tak więc reszta z dzielenia przez 3 tej sumy ma być równa 0, a koro każdy składnik może mieć resztę 1 lub 0, to aby suma była 0, oba musza być równe 0. Tak więc 3|x² i 3|y². 3 nie jest kwadratem, zatem 3|x i 3|y. Niech x=3a, y=3b. wtedy: 9a²+9b²-3z²=0, czyli 3a²+3b²-z²=0. Z analogicznych przyczyn jak powyżej 3|z², zatem 3|z. Niech więc z=3c. Wtedy: a²+b²-3c²=0. Tak więc x=y=z=0, a koro należało rozwiązac równanie w liczbach całkowitych dodatnich, to takich nie ma.

2)

x²y²=(xy)². Reszta kwadratu z dzielenia przez 3 to 1  lub 0. Rozważmy 2 przypadki:

a)x²y²=0 mod3. Zatem przynajmniej jedna z liczb x,y jest podzielna przez 3. Ale skoro x²+y²+z²=x²y², to z lewej strony co najwyżej 2 składniki nie będą podzielne przez 3. Tak więc aby ich suma była podzielna przez 3, to każdy musi być podzielny przez 3. Podstawmy: a=3a, y=3b, z=3c i przenieśmy wszystko na lewą stronę: 9(a²+b²+c²)=81a²b², czyli a²+b²+c²=9a²b². Zatem x=y=z=0

b)x²y²=1 mod3. Wtedy x²=1mod3 i y²=1mod3, zatem sprzeczność(bo z²=1 lub 0 mod3).