Kolejne zadanie z serii "Matma rozwija myślenie":Liczby a,b,c >0, spełniają warunek Udowodnij, że:Ws.... Question from @Karoline88

Karoline88 @Karoline88

September 2018 1 110 Report

Kolejne zadanie z serii "Matma rozwija myślenie":

Liczby a,b,c >0, spełniają warunek $ab+bc+ac = abc$

Udowodnij, że:

$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} + \frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)} + \frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)} >= 1$

Wszystkim życze powodzenia!

Jednocześnie pozdrawiam dwóch moderatorów którzy mi ostatnio strasznie załażą za skórę...

Solostran

Zajmijmy się warunkiem:

ab+ac+bc=abc

Z tego otrzymujemy:

$\frac{ab}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{bc}{abc}=\frac{abc}{abc}\\ \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=1$

Zamieńmy to teraz na prostrze równanie za pomocą podmienienia:

$x=\frac{1}{a}\ y=\frac{1}{b}\ z=\frac{1}{c}$

Jednocześnie:

$a=\frac{1}{x}\ b=\frac{1}{y}\ c=\frac{1}{z}$

Teraz podstawmy to do drugiego równania:

$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq1\\$

$></p><p>Równanie jest tak długie, ze latex przestaje je wyświetlać, więc zajmijmy się pojedynczym skłądnikiem:</p><p><img src=$

Mamy więc:

$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\geq1\\$

Wiadomo też, zę zachodzi zależnośc:

$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq\frac{x+y}{2}$

a oto dowód:

$></p><p> </p><p><img src=$

$></p><p> </p><p>Wiemy, ze skoro a,b,c dodatnie to x,y,z też dodatnie. Pierwszy czynnik jako suma trzecich potęg liczb dodatnich będzie zawsze dodatnia a iloczyn dwóch pozostałych będzie zawsze dodatni, ponieważ jeśli od większej odejmiemy mniejszą to jest ok, a jak od mniejszej większą to będzie minus, jednak ta sama potęga mniejszej minus ta sama potęga większej też jest ujemna więc ostatecznie mamy iloczyn ujemnych, czyli dodatnia. W takim razie ta zależnośc zachodzi dla każdego x,y,z (to samo mozemu udowodnić na pozostałych parach) więc teraz mamy taką zależność:</p><p><img src=$

to pierwsze jest tym bardziej poprawne, stąd całe równanie jest poprawne. c.n.d

1 votes Thanks 0

More Questions From This User See All

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

Kolejne zad. z serii "Matma rozwija myślenie"Znajdź wszystkie takie pary dodatnich liczb całkowitych (x;y), że: jest kwadratem liczby całkowitej.Oczywiście chodzi o znalezienie wszystkich takich liczb (x;y) oraz dowód, ze więcej takich par nie maPowodzenia!

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

Tym razem zadanie z serii "Fizyka rozwija myślenie":Sprężysta kula o średnicy zawiera dwuatomowy gaz doskonały pod ciśnieniem 0,1 [MPa]. Po doprowadzeniu pewnej ilości ciepła, średnica kuli wzrosła do . W procesie doprowadzania ciepła ciśnienie wewnątrz kuli było wprost proporcjonalne do średnicy .Należy obliczyć ilośc ciepła i pracy wymienionej między gazem i otoczeniem. Pominąć pracę sprężystego odkształcenia powłoki.Powodzenia!

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

Kolejne zad. z serii "Matma rozwija myślenie"W czworokącie wypukłym ABCD punkt M jest środkiem przekatnej AC. Wykaż, ze jeżeli <BAD = <BMC = <CMD,to na czworokącie ABCD mozna opisać okrąg.Powodzenia!

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

Daję dwa zadania, znowu z serii "Matma rozwija myślenie" - czekam tylko na dwa pełne rozw. i tylko wtedy nie zgłaszam jako spam. Pojedynczych rozwiązań nawet nie piszcie.Treść:1. Znaleźć rozwiązania x,y,z w liczbach całkowitych dodatnich2. Znaleźc rozwiązania x,y,z w liczbach całkowitych dodatnichAcha i jeszcze jedno, spamerów będę wieszał za ja... błko Adama. Jeśli maci ejakies pytania co do treści, macie pisac priv, a nie jako rozw., bo wtedy nie będzie litościJeśli ktos by się pytał, to chodzi o wypisanie wszystkich możliwych liczb spełniajacych te równania i dowód ze są to jedyne rozwiązania i więcej nie ma (samo wypisanie przykładowych liczb nie jest rozwiązaniem)

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

Kolejne zad. z cyklu - matma rozwija myślenieTreść:Udowodnij, że dla a,b,c dodatnich rzeczywistych zachodzi nierówność:

Karoline88 September 2018 | 0 Replies

W ramach zachęcania ludzi do myślenia będę wrzucał zadania, oto pierwsze z nich (jeśli pójdzie zbyt łatwo to poziom będzie wzrastał :> ):Liczby a,b,c są rzeczywiste dodatnie. Należy udowodnić, że:Powodzenia!

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.