Question

W okrag o srodku O i promieniu R= 6cm wpisano czworokat ABCD. katy srodkowe:∢ AOB, ∢BOC, ∢COD, ∢DOA maja odpowiednio miary: 45°, 150°, 135°, 30°. oblicz pole czworokata ABCD.

Answer 1

R = 6 cm
α = 45⁰, β = 150⁰, γ = 135⁰, δ = 30⁰
α,β,γ,δ - miary odpowiednich katów środkowych .
Korzystam z wzoru na pole Δ :
P = (1/2)* a*b * sin α
W tym przypadku
a = b = R = 6 cm
zatem
P = (1/2)*[R² sinα + R² sinβ + R² sinγ + R² sinδ]
sinβ = sin 150⁰ = sin(90⁰+60⁰) = cos 60⁰ = 1/2
sin γ = sin 135⁰ = sin( 90⁰ + 45⁰) = cos 45⁰ = √2/2
czyli
P = (1/2)* ( 6 cm )² *[sin 45⁰ + cos 60⁰ + cos 45⁰ + sin 30⁰] =
= (1/2)* 36 cm² *[√2/2 + 1/2 + √2/2 + 1/2] =
= 18 cm²*[1 + √2] = 18*(1 + √2) cm².

Odp. Pole tego czworokąta jest równe P = 18*(1 + √2) cm².