Question

W koło o promieniu r=4 cm wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz pole F = Pk - Pt, gdzie Pk oznacza pole danego koła, a Pt oznacza pole trójkąta wpisanego w to koło.

Answer 1

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia symetralnych jego boków. W trójkącie równobocznym symetralne boków pokrywają się z dwusiecznymi, wysokościami oraz środkowymi. Dlatego w tym trójkącie środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcuia środkowych tego trójkąta.

 

 Środkowe mają taką miłą własność, że dla każdej środkoej odległość punktu przeciącia od boku na który jest opuszczona jest równa połowie odległości punktu przeciącia od wieszchołka z którego jest wypuszczona.

 

Ponadto odległość punktu przeciącia, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie od dowolnego wieszchołka to R.

 

Wiemy również, że środkowa i wysokość się porywają:

 

Znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego, możemy z niego wyznaczyć a - bok tego trójkąta:

 

Teraz możemy policzyć pola: