Question

W kloe o srodku 0 i promieniowaniu 4 poprowadzono cięciwę AB. Oblicz pola figur, na jakie cięciwa podzieliła koło, jeśli pole trójkata A0B jest równe 4 pierwiastki 2.

Answer 1

r = 4

Pt - pole trójkąta AOB

Pt = 4 p(2)

Korzystamy z następującego wzoru na pole trójkąta

P = (1/2)*a*b*sin alfa

W tym przypadku

a = b = r

zatem  Pt = (1/2)* r*r*sin alfa

czyli

(1/2) *r^2 * sin alfa = 4 p(2)

(1/2)* 4^2 *sin alfa = 4 p(2)

(1/2)*16 * sin alfa = 4 p(2)

8 * sin alfa = 4 p(2)

sin alfa = [ 4 p(2)]/8 = p(2)/2

czyli alfa = 45 stopni

alfa = miara kąta wypukłego AOB

P - pole koła dla r = 4

P1 - pole wypukłego wycinka koła ( mniejszego )

P2 - pole wklęsłego wycinka koła ( wiekszego)

Mamy

P = pi r^2 = pi *4^2 = pi *16 = 16 pi

P1/P = 45 stopni / 360 stopni = 1/8

czyli  P1 = (1/8) *P  = (1/8)*16 pi = 2 pi

P2/P = (360 - 45) stopni/ 360 stopni = 315/360 =7/8

czyli P2 = (7/8) * P = (7/8)* 16 pi = 14 pi

Teraz obliczymy pola figur na jakie cięciwa podzielila koło

 

Pole I  odcinka koła ( mniejszego ) :

-------------------------------------

P I = P1 - Pt = 2 pi  - 4 p(2)

===========================

Pole II  odcinka koła ( większego )

P II = P - P I = 16 pi - [ 2 pi - 4 p(2)] = 14 pi + 4 p(2)

-------------------------------------

P II  =  14 pi  + 4 p(2)

==========================

p(2) <-- pierwiastek kwadratowy z 2