Question

Uzasadnić, że podane liczby są niewymierne:

a) √5

b) log₂3

c)

d) √2 - √3

e) tg1·

Answer 1

a)  √5

liczba ta jest na pewno pierwiastkiem wielomianu:

 

W(x)=x2−5

wielomian ten ma 2 pierwiastki:  √5 ∨ -√5

z twierdzenia o wymiernym pierwiastku wielomianu wiemy, że jeśli pierwiastek jest wymierny to jest dzienikiem wyrazu wolnego.

dzielniki wyrazu wolnego ∈ { 1 ; -1 ; 5 ; -5 }

nasze pierwiastki { -√5 ; √5 } ∉ { 1 ; -1 ; 5 ; -5 } co kończy dowód na niewymierność √5.

 

b)  log₂3

Dowód nie wprost:

Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich m oraz n zachodziła równość

log₂3=m/n

to mielibyśmy

2(do potęgi m/n)=3

i wobec tego także 2m = 3n – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem log23 nie jest wymierny.

 

c)

wystarczy ze udowodnimy ze sama liczba pi jest niewymierna.

 

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

π=p/q , p,q ∈ Z , q≠0

ustalamy ciąg:

mozna wykazac ze:

6 votes Thanks 3