Question

Udowodnij że jeśli
a) x y są liczbami rzeczywistymi to x² + y² ≥ 2xy
b) x y z są liczbami rzeczywistymi takimi ze
x + y + z = 1 to
x² + y² + z² ≥ ⅓

Answer 1

A) x,y ∈R ∈-należą
x²+y²≥2xy
x²-2xy+y²≥0
(x-y)²≥0

b)
x+y+z=1
x²+y²+z²≥¹/₃
Jeżeli za którąkolwiek z tych liter podłożymy liczbę całkowitą większą od 1 i mniejszą od -1, to powyższe równanie napewno jest prawdziwe. Szukamy więc najniższej wspólnej(aby x=y=z) kombinacji ułamkowej. Jedynym spełniającym ułamkiem jest liczba ¹/₃. Wtedy x=y=z=¹/₃.
(¹/₃)²+(¹/₃)²+(¹/₃)²≥¹/₃
¹/₉+¹/₉+¹/₉≥¹/₃
¹/₃≥¹/₃