Question

1. wyznacz najwiekszą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=x²-10x+9 w przedziale dla A= <3,7>

2. Do turnieju siatkówki zgłosily sie reprezentacje wszystkich szkół w pewnym mieście. Kazda reprezentacja rozegrała jeden mecz z kazdą z pozostalych. Wszystkich meczów rozegrano 66. Ile szkół brało udział w turnieju?

3. wiadomo że dla pewnych różnych od zera liczb a i b zachodzi zwiazek
(10a + 5b) : 2a = 6
wyznacz wartość wyrażenia
(4a - 3b) : 7b= ?

Answer 1

Zad. 1
f(x)= x²-10x+9, x∈<3,7>
Δ = 100 - 4*9 = 100 - 36 = 64
√Δ = √64 = 8
x₁ = (10-8)/2 = 1
x₂ = (10+8)/2 = 9
f(x) = (x-1)(x-9)
a = 1>0 i x₁= 1 i x₂ = 9 {ramiona paraboli do góry}
w przedziale <3,7> wartości funkcji są ujemne
funkcja ma minimum w wierzchołku paraboli
p= -b/2a = 10/2 = 5
q = -Δ/4a = -64/4 = -16
f(5) = -16
f(3) =(x-1)(x-9) = (3-1)(3-9) = 2*(-6) = -12
f(7) = (x-1)(x-9) = (7-1)(7-9) = 6*(-2) = -12
Odp. Najmniejsza wartość funkcji w przedziale x∈<3,7> wynosi -16, a największa -12.

Zad. 2
liczba rozegranych meczy 66
pierwszy zespół rozegra x meczy
drugi z resztą zespołów (oprócz pierwszego) x - 1
trzeci z resztą zespołów (oprócz drugiego i trzeciego) x - 2
itd.
mamy ciąg liczb 1, 2, 3, 4, ....
jest to ciąg arytmetyczny, a₁ = 1, r = 1
{suma n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
(a₁ + an)/2*n}
Mamy [(1+ x)/2]*x = 66
(1+x)*x = 66*2
x + x² = 132
x² + x - 132 = 0
Δ = 1 - 4*(-132)*1 = 1+528 = 529
√Δ = 23
x₁ = (-1 + 23)/2 = 22/2 = 11
x₂ = (-1 -23)/2 = -12 (odrzucamy, bo liczba meczów nie jest ujemna)
Pierwszy zespół rozegra 11 meczy, czyli jest 11+1 = 12 zespołów.
11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5*12 + 6 = 66
Odp. W turnieju brało udział 12 szkół.

Zad. 3
(10a + 5b): 2a = 6
5 + 2,5*(b/a) = 6
2,5*(b/a) = 6 - 5
2,5*(b/a) = 1
b/a = 1:2,5 = 1*²/₅ = ²/₅
2a = 5b /*2
4a = 10b {wstawimy do wyrażenia poniżej}
Mamy obliczyć wartość wyrażenia(4a - 3b):7b
(4a - 3b): 7b = (10b - 3b): 7b = 7b : 7b = 1
Odp. Wartość wyrażenia (4a - 3b):7b wynosi 1.