Question

7. oblicz obwód okregu opisanego na trójkącie równobocznym którego dwa wierzchołki mają współrzędne A= (1,2) i B= (0,-2)

8. 3 liczby których suma wynosi 124 tworzą ciag geometryczny. Te same liczby tworzą pierwszy drugi i siódmy wyraz ciagu arytmetycznego. Znajdź te liczby

9.przekatna prostokata ma dlugość 18 cm, Odcinki prostopadle do przekątnej prowadzone z wierzchołków prostokata dzielą ją na trzy równe części. oblicz dlugości boków prostokąta

Answer 1

Zad.7
A= (1,2) i B= (0,-2)
długość boku trójkąta
IABI=√[(0-1)²+(-2-2)²]=√17
promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:
r = IABI√3/3 = (√17)*√3/3 = √51/3
obwód okręgu
l= 2πr = 2π*(√51/3) = ⅔√51π
Odp. Obwód okręgu opisanego na trójkącie równobocznym
wynosi ⅔√51π

Zad.8
a, b, c tworzą ciąg geometryczny
a+b+c = 124,
{
b² = ac { z równości ilorazów b/a = c/b}
te same liczby a, b, c tworzą pierwszy, drugi, siódmy wyraz ciągu arytmetycznego, więc
b = a + r, c = a + 6r
a+b+c=a+a+r+a+6r=124
3a + 7r = 124
{
(a+r)² = a(a+6r)

3a + 7r = 124
{
a²+2ar +r² = a²+6ar /-a²

3a + 7r = 124
{
2ar +r² = 6ar

3a + 7r = 124
{
r² - 4ar = 0, stąd r(r-4a)=0,
więc r =0, wtedy 3a = 124, a = 124/3= 41⅓,
a= b= c = 41⅓
lub
r = 4a, wtedy 3a + 7*4a = 124, 31a = 124, a = 124:31=4,
a = 4
b = a + r = a + 4a = 5a= 5*4 = 20
c = a + 6r = a + 6*4a = 25a = 25* 4 = 100
Odp. Te liczby to: 41⅓,41⅓, 41⅓
lub 4, 20, 100.

Zad. 9
Prostokąt ABCD o bokach AB i AD oraz przekątnej IBDI = 18 cm.
Odcinki prostopadłe AE i CF poprowadzone z wierzchołków A i C dzielą przekątną BD na trzy równe części: BF = FE = ED.
I) Korzystamy z tw. Pitagorasa w ΔABD:
AB²+AD²= BD², AB²+AD² = 18²
II) Korzystamy z tw. Pitagorasa w ΔABE i ΔAED:
AE²+ED²=AD², stąd AE²= AD²- ED², AE²= AD²- 6²
AE²+EB²=AB², stąd AE²= AB² - EB², AE²= AB² - 12²
więc
AB² - 12² = AD²- 6²
Z I) i II) układamy układ równań:
AB²+ AD² = 18²
{
AB² - 12² = AD²- 6²

AB²+ AD² = 18²
{
AB² - AD² = 12²- 6²
stąd
2AB² = 18²+ 12²- 6² = 324 + 144 - 36 = 432
AB² = 432:2 = 216
AB =√216 = √(36*6)= 6√6
IABI=6√6cm
AD² = 18² - AB² = 324 - 216 = 108
AD = √108 = √(36*3)= 6√3
IADI=6√3cm
Odp. Długości boków prostokąta wynoszą 6√3cm i 6√6.