Question

4. sprawdź czy liczby
a= (sin60 + cos 60)² i
b= sin²15 - cos30 + cos²15
są pierwiastkami wielomianu
W(x)= 4x³ - 8x² + x

5. Do 10 szklanek o pojemności 0,2 wlano wode, pierwsza szklanke zapełniono po brzeg, w kazdej nastepnej szklance znajdowalo sie o polowe mniej wody niz w szklance poprzedniej, czy woda ze wszystkich szklanek zmiesci sie w 2 szklankach ?

6. Funkcja liniowa f(x)= 3ax - b jest malejaca, natomiast funkcja liniowa g(x)= bx - 3a jest rosnąca. Wykresy funkcji f i g przecinaja Ox w tym samym punkcie A. Oblicz odciętą punktu A oraz wyznacz wzoru funkcji f i g wiedzac ze ich wykresy są prostopadle

Answer 1

Zad. 4
a= (sin 60⁰ + cos 60⁰)² = sin²60⁰ + 2*sin 60⁰*cos 60⁰ + cos²60⁰=
2*sin 60⁰*cos 60⁰ + sin²60⁰ + cos²60⁰ = 2*(√3/2)*(½) + 1 = 1+ √3/2
b= sin²15⁰ - cos30⁰ + cos²15⁰ = sin²15⁰ + cos²15⁰ - cos30⁰ = 1- √3/2
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu:
W(x)= 4x³ - 8x² + x = x(4x² - 8x +1)
x(4x² - 8x +1) = 0, dla x = 0 lub 4x² - 8x +1 = 0
4x² - 8x +1 = 0
Δ= 8² - 4*4*1 = 64 - 16 = 48
√Δ = √48 = √(6*3) = 4√3
x₁ = (8 - 4√3)/(2*4) = 8/8 - 4√3/8 = 1 - √3/2 = b
x₂ = (8 + 4√3)/(2*4) = 8/8 + 4√3/8 = 1 + √3/2 = a
Odp. Liczby a i b są pierwiastkami wielomianu W(x).

Zad. 5
do pierwszej szklanki wlano 0,2l = ¹/₅ l wody
do drugiej ½ z 0,2l = ¹/₁₀ l
do trzeciej ½ z ¹/₁₀ l = ¹/₂₀ l
do czwartej ½ z ¹/₂₀ l = ¹/₄₀ l
......... itd.
mamy ciąg liczb:
¹/₅, ¹/₁₀ , ¹/₂₀, ¹/₄₀, .....
jest to ciąg geometryczny, gdzie:
a₁ = ¹/₅ , q = ½ < 1, więc suma n wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:
Sn = a₁* 1/(1-q) = (¹/₅)* 1/(1- ½) = (¹/₅)/(½) = (¹/₅)*2 = ²/₅ = 0,4
Jedna szklanka ma pojemność 0,2l, dwie szklanki 0,4l.
Odp. Woda ze wszystkich szklanek zmieści się
w dwóch szklankach.

Zad. 6
Funkcja liniowa f(x)= 3ax - b jest malejaca, więc 3a<0
funkcja liniowa g(x)= bx - 3a jest rosnąca, więc b>0
wykresy funkcji f i g przecinają oś x
w tym samym punkcie A = (x, 0), czyli
f(x) = 0 i g(x) = 0
3ax - b = 0 i bx - 3a = 0
3ax = b i bx = 3a
x = b/3a i x = 3a/b
stąd b/3a = 3a/b,
9a² = b²
9a² - b²= 0 {z wzoru skróconego mnożenia a² - b² = (a-b)(a+b)}
(3a-b)(3a+b) = 0,
więc 3a = b lub 3a = -b {wiemy, że b>0 i 3a<0}
stąd 3a = -b
wykresy funkcji f(x)= 3ax-b i g(x)=bx-3a są prostopadłe,
więc iloczyn ich współczynników kierunkowych = -1:
3a * b = -1 i wiemy, że 3a = -b
stąd -b*b = -1, b² = 1, b² - 1 = 0, (b-1)(b+1) = 0
czyli b = 1 {funkcja g(x) jest rosnąca, b= -1 odrzucamy}
3a = - 1
a = - ⅓
f(x) = 3ax - b = 3*(- ⅓)x -1 = -x-1
g(x) = bx - 3a = 1*x -3*(- ⅓) = x+1
A=(x,0), -x-1 = x+1, -2x = 2, x = -1
A=(-1,0)
Odp. Odcięta punktu A równa się -1. Wzory funkcji:
f(x) = -x-1, g(x) = x+1