Question

Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2( do potegi 6n+1) +1 +3(do potęgi 2n+2) jest podzielna przez 11

Prosiłbym o wyjaśnienie na priv too ;)

Answer 1

Potęgę będę oznaczał tak:
2^(2n+1) oznacza: 2 do potęgi 2n+1, itd...

niech:
a(n) = 2^(6n+1) + 3^(2n+2)
(pomyliłeś się przy przepisywaniu i niepotrzebnie dodałeś +1

chcemy pokazać, że dla każdego n>=0 a(n) dzieli się przez jedenaście

korzystamy z indukcji:
dla n=0 mamy:
a(0) = 2^1 + 3^2 = 2 + 9 = 11 -> OK

dla n>0 korzystamy z założenia indukcyjnego, czyli:
założenie: a(n-1) = 11*p, gdzie p jest całkowite
teza: a(n) = 11*q, gdzie q jest całkowite:

dowód:
a(n) =
= 2^(6n+1) + 3^(2n+2) =
= 2^(6(n-1)+1+6) + 3^(2(n-1)+2+2) =
= 2^(6(n-1)+1) * 2^6 + 3^(2(n-1)+2) * 3^2 =
= 64 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * 3^(2(n-1)+2) =
= 55 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * 3^(2(n-1)+2) =
= 55 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * (2^(6(n-1)+1) + 3^(2(n-1)+2)) =
= 55 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * a(n-1) =
= 11 * 5 * 2^(6(n-1)+1) + 9 * 11 * p =
= 11 * (5 * 2^(6(n-1)+1) + 9*p) =
= 11 * q , gdzie q = (5 * 2^(6(n-1)+1) + 9*p) i jest całkowite

To kończy dowód indukcyjny!