Question

1.Zadanie z ciągów :
W pewnym ciągu an sumę n początkowych wyrazów ciągu można obliczyć ze wzoru Sn=pn^2+qn
Wykaż że ciąg an jest arytmetyczny.
2. Zbadaj zbieżność ciągu

an=[(p^2-1)n^2+1]/[(p-1)n+1]

w zależności od parametru p

Answer 1

Zadanie 1
Sn = pn² + qn

obliczymy n + 1 wyraz tego ciągu:
S(n + 1) - Sn = [p(n + 1)² + q(n + 1)] - [pn² + qn] = p[(n + 1)² - n] + q[(n + 1) - n] = p(n + 1 - n)(n + 1 + n) + q = (p + q) + 2np

obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:
a(n + 1) = (p + q) + 2np
an = (p + q) + 2(n - 1)p = (q - p) + 2np
a(n + 1) - an = [(p + q) + 2np] - [(q - p) + 2np] = 2p

ponieważ jest to ciąg o stałej różnicy pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami (we wzorze na różnicę brak n) to jest to ciąg arytmetyczny

zadanie 2
p = 1
an = 1/1 = 1

p = - 1
an = 1/(- 2n + 1) -> 0

p ≠ 1 i p ≠ - 1
an = [(p² - 1)n² + 1]/[(p - 1)n + 1] = [(p - 1)(p + 1)n² + 1]/[(p - 1)n + 1] = [(p + 1)n² + 1/(p - 1)]/[n + 1/(p - 1)] = [(p + 1)n + 1/n(p - 1)]/[1 + 1/n(p - 1)]

p < - 1 => an -> - ∞
p > - 1 => an -> ∞

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

1.Zadanie z ciągów :
W pewnym ciągu an sumę n początkowych wyrazów ciągu można obliczyć ze wzoru Sn=pn^2+qn
Wykaż że ciąg an jest arytmetyczny.
a n=Sn -Sn-1
an=pn²+qn-p(n-1)²-q(n-1)
an=pn²+qn-p(n²-2n+1)-qn+q
an=pn²+qn-pn²+2pn-p-qn+q
an=2pn-p+q

an+1-an=2p(n+1)-p+q-2pn+p-q=2pn-2p-p+q-2pn+p-q=-2p= r stała liczba nie zależna od n
2. Zbadaj zbieżność ciągu w zależności od parametru p

an=[(p²-1)n²+1]/[(p-1)n+1]

lim[(p²-1)n²+1]/[(p-1)n+1]=
n->∞
lim[(p²-1)n+1/n]/[(p-1)+1/n]=
n->∞
lim[(p²-1)n+1/n]/[(p-1)+1/n]=
n->∞
jesli p²-1/p-1=p+1>0
to lim an=+∞ (p>-1 i p≠1)
n->∞
jesli p²-1/p-1=p+1<0
to lim an=-∞ (p<-1 )
n->∞
jesli p²-1/p-1=p+1=0
to lim an=0 (p=-1)
n->∞
jesli p=1
to lim an=1 (p=1)
n->∞