Question

trzy liczby po dodaniu do siebie dają 63, tworzą one ciąg geometryczny. jednocześnie te liczby stanowią a1, a4 i a16 ciągu arytmetycznego. jakie to liczby?

Answer 1

x,y,z - ciąg geometryczny

y/x = z/y

 

x+y+z = 63

dla ciągu arytmetycznego mamy:

a1=x

a4 =a1+3r=x + 3r

x+3r = y

a16 = a1 + 15r = x + 15r

x+15r = z

podstawiam to do sumy

 

x+x+3r +x + 15r =63

3x + 18r = 63 /:3

x + 6r =21

 

teraz do pierwszego równania dla ciagu geometrycznego

y/x = z/y

y² = xz

(x+3r)² = x(x+15r)

x² + 6xr + 9r² = x² + 15xr

9r² - 9xr = 0 /: 9

r² - xr = 0

 

teraz ukłąd równań

{x+6r = 21

{r² -xr =0

 

{x = 21 - 6r

{r² -(21-6r)r=0

 

{x=21-6r

{r² - 21r +6r² = 0

 

{x= 21-6r

{7r²-21r = 0

 

{x=21-6r

{7r(r-3)=0

r=0  lub r=3

 

dla r=0

x=21- 6*0 = 21

y= x+3r = 21

z = x+15r = 21

-ciag stały

 

dla r=3

x = 21-6*3 = 21 - 18 = 3

y = x+3r = 3+3*3 = 12

z = x+15r = 3 + 15*3 = 48