Question

bardzo proszę o pomoc, nie mogę sobie poradzić z rozgryzieniem tych zadań.
przykłady w załączniku.

Answer 1

z.1

2 log x + log ( 6 - x^2 ) = 0

Założenia:

x > 0   i  6 - x^2 > 0

x > 0   i  6 >   x^2

x > 0   i   x^2 < 6

x > 0   i   x <  p(6)

zatem

log x^2 + log ( 6 - x^2) = 0

log [ x^2 *(6 - x^2)] = log 1

x^2 * ( 6 - x^2 ) = 1

6 x^2 - x^4 - 1 = 0

x^4 - 6 x^2 + 1 = 0

-----------------------

Podstawienie   y =x^2

Mamy

y^2 - 6 y + 1 = 0

delta = (-6)^2 - 4*1*1 = 36 - 4 = 32 = 16*2

p (delty ) = 4 p(2)

y = [ 6 - 4 p(2)]/2 = 3 - 2 p(2)

lub

y = [ 6 + 4 p(2)]/2 = 3 + 3 p(2)

czyli

x^2 = 3 - 2 p(2) > 0   lub  x^2 = 3 + 2 p(2) > 0

x = p [ 3 - 2 p(2)]     lub      x = p [ 3 + 2 p(2) ]

===========================================

Ponieważ  3 - 2 p(2) > 0  , więc  p [ 3 - 2 p(2) ] > 0

oraz   3 + 2 p(2) < 6 , więc         p [ 3 + 2 p (2) ] < p(6)

==================================================

z.2

[ 2 log x ] / [ log ( 5x - 4 ) ] = 1

 

Założenia:  x > 0  i   5x - 4 > 0

czyli  x > 0   i    5 x > 4

x > 0       i   x > 4/5 = 0,8

x > 0,8

------------

Mamy więc

2 log x = log ( 5 x - 4)

log x^2 = log ( 5 x - 4)

x^2 = 5x - 4

x^2 - 5 x + 4 = 0

----------------------

delta = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

p( delty ) = p ( 9) = 3

x1 = [ 5 - 3 ]/2 = 2/2 = 1 > 0,8

x2 = [ 5 + 3 ]/2 = 8/2 = 4 > 0,8

Odp. x1 = 1;  x2 = 4

====================

z.3

log ( 3x - 91 ) - log ( 30 - x) = 1

Założenia:

3x - 91 > 0     i    30 - x > 0

3x >  91         i    30 > x

x > 30  1/3     i     x < 30  -  sprzeczność

Równanie nie ma rozwiązania.

==============================

z.4

3 ^ log x = 1/27

3^log x = 3 ^(-3)

log x = - 3

x = 10^(-3) = 1/10^3 = 1/1000 = 0,001

===================================

z.5

log [ 2x / ( 4x - 15 )] = 2

założenie:

2x /( 4x - 15 ) > 0

2x > 0   i    4x - 15 > 0              lub      2x < 0  i   4x - 15 < 0

x > 0     i      x > 15/4               lub        x < 0   i   x < 15/4

x > 15/4       lub      x  < 0

--------------------------------

zatem

log [ 2x / ( 4x - 15 ) ] = log 100

2x/( 4x - 15) = 100

2x = 100*(4x - 15)

2x = 400 x - 1500

398 x = 1 500

x = 1 500 / 398 = 750 / 199  =  około 39,47 > 15/4

==============

Odp. x = 750/199

====================

z.6

log 4 { 2 log 3 [ 1 + log 2 ( 1 +  log 2 ( x))] } = 1/2

2 log 3 [ 1 + log 2 ( 1 + log 2(x))] = 4^(1/2) = 2  / : 2

log 3 [ 1 + log 2 ( 1 + log 2 (x))] = 1

1 + log 2 ( 1 + log 2 (x)) = 3

log 2 ( 1 + log 2 (x)) = 2

1 + log 2(x) = 2^2 = 4

log 2 (x) = 4 -1 = 3

x = 2^3  = 8

=================