Question

Rozwiąż równanie
a)½/x³+1/=x²-x+1
/-to jest wartość bezwzględna

Answer 1

Dane jest równanie
½ Ix³+ 1I= x² - x + 1

I) Zał. x³+ 1 ≥ 0, stąd x ≥ -1(z definicji wartości bezwzględnej)
½ Ix³+ 1I= x² - x + 1
½ (x³+ 1) = x² - x + 1
{korzystamy z wzoru skróconego mnożenia
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)}
½ (x +1)(x² - x + 1) = x² - x + 1
½ (x +1)(x² - x + 1) - (x² - x + 1) = 0
{wyłączamy wyrażenie (x² - x + 1) przed nawias}
(x² - x + 1)(½ (x +1) - 1) = 0
(x² - x + 1)(½x + ½ - 1) = 0
(x² - x + 1)(½x - ½) = 0
stąd
x² - x + 1 = 0 {lub ½x - ½ = 0
Δ = (-1)² - 4*1*1 { lub ½x = ½, stąd x = 1
Δ = 1 - 4 = -3 < 0
Δ jest liczbą ujemną,
a = 1jest liczbą dodatnią
więc wyrażenie
x² - x + 1 > 0
Z założenia x ≥ -1 i x = 1, więc liczba 1 jest rozwiązaniem równania ½ Ix³+ 1I= x² - x + 1

II) Zał. x³+ 1 < 0, stąd x < -1 (z definicji wartości bezwzględnej)
½ Ix³+ 1I= x² - x + 1
½ (-x³- 1) = x² - x + 1 {wyłączamy -1 przed nawias}
-½ (x³+ 1) = x² - x + 1
{korzystamy z wzoru skróconego mnożenia
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)}
-½ (x +1)(x² - x + 1) = x² - x + 1
-½ (x +1)(x² - x + 1) - (x² - x + 1) = 0
{wyłączamy wyrażenie (x² - x + 1) przed nawias}
(x² - x + 1)(-½ (x +1) - 1) = 0
(x² - x + 1)(-½x - ½ - 1) = 0
(x² - x + 1)(-½x - 1½) = 0
stąd
x² - x + 1 = 0 {lub -½x - 1½ = 0
Δ = (-1)² - 4*1*1 {lub -½x = 1½, stąd x = -3
Δ = 1 - 4 = -3 < 0
Δ jest liczbą ujemną,
a = 1jest liczbą dodatnią
więc wyrażenie
x² - x + 1 > 0
Z założenia x < -1 i x = - 3, więc liczba -3 jest rozwiązaniem równania ½ Ix³+ 1I= x² - x + 1
Odp. Rozwiązaniem równania ½ Ix³+ 1I= x² - x + 1
są liczby: -3 , 1.