Question

1.Wyznaczyć wartosć funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α jeśli

tg(90⁰-α) = 7/24

2.Kąt α jest kątem ostrym oraz tgα = . Nie wyznaczajac wartosci sinα i cosα oblicz wartosc wyrazenia:
a)3sinα - 2cosα/5cosα
b)4sin²α + 5cos²α/sinα*cosα
c)(sinα + cosα)² / cos²α

3.Uprosc wyrazenie tak aby wystepowała w nim jedynie funkcja cosinus. /oblicz jego wartosc dla cosα= ½ gdzie α jest kątem ostr
a) (tgα + 1/tgα)²
b)1-tg²α/1+tg²α
c)tg²/tg²α+1

Answer 1

1.Wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α jeśli

tg(90⁰-α) = 7/24
ctgα = 7/24
tgα = 1/ctgα = 24/7 = 3 3/7

ctgα = sinα/cosα
sinα = 7cosα/24
sin²α + cos²α = 1
(7cosα/24)² + cos²α = 1
49cos²α/576 + cos²α = 1
625cos²α/576 = 1
cos²α = 576/625
cosα = 24/25 ∨ cosα = - 24/25
ale kąt jest ostry więc cosα = 24/25

sinα = 7cosα/24 = 7/24 * 24/25 = 7/25

2.Kąt α jest kątem ostrym oraz tgα = 3. Nie wyznaczając wartości sinα i cosα oblicz wartość wyrażenia:

a)3sinα - 2cosα/5cosα
(3sinα - 2cosα)/5cosα = 3sinα/5cosα - 2cosα/5cosα = 3tgα/5 - 2/5

tgα = 3
3*3/5 - 2/5 = 7/5 = 1 2/5 = 1,4

b)(4sin²α + 5cos²α)/sinα*cosα
(4sin²α + 5cos²α)/sinα*cosα = 4sin²α/sinα*cosα + 5cos²α/sinα*cosα = 4sinα/cosα + 5cosα/sinα = 4tgα + 5ctgα = 4tgα + 5/tgα

tgα = 3
4*3 + 5/3 = 13 2/3

c)(sinα + cosα)²/cos²α
(sinα + cosα)²/cos²α = (sin²α + 2sinαcosα + cos²α)/cos²α = (sinα/cosα)² + 2sinαcosα/cos²α + cos²α/cos²α = tg²α + 2sinα/cosα + 1 = tg²α + 2tgα + 1 = (tgα + 1)²

tgα = 3
(3 + 1)² = 4² = 16

3.Uprość wyrażenie tak aby występowała w nim jedynie funkcja cosinus. /oblicz jego wartość dla cosα= ½ gdzie α jest kątem ostrym
a) (tgα + 1/tgα)²

(tgα + 1/tgα)² = tg²α + 2 + 1/tg²α = sin²α/cos²α + cos²α/sin²α + 2 = (1 - cos²α)/cos²α + cos²α/(1 - sin²α) + 2

cosα= ½
(1 - 1/4)/(1/4) + (1/4)/(1 - 1/4) + 2 = (3/4)/(1/4) + (1/4)/(3/4) + 2 = 3 + 1/3 + 2 = 5 1/3

b)1-tg²α/1+tg²α

(1 - tg²α)/(1 + tg²α) = (1 - sin²α/cos²α)/(1 + sin²α/cos²α) = [(cos²α - sin²α)/cos²α]/[(cos²α + sin²α)/cos²α] = (cos²α - sin²α)/(cos²α + sin²α) = cos²α - sin²α = cos²α - 1 + cos²α = 2cosα - 1

cosα= ½
2*1/4 - 1 = - 1/2

c)tg²/tg²α+1

tg²/(tg²α + 1) = (sin²α/cos²α)/(sin²α/cos²α + 1) = (sin²α/cos²α)/[(cos²α + sin²α)/cos²α] = sin²α/(cos²α + sin²α) = sin²α = 1 - cos²α

cosα= ½
1 - 1/4 = 3/4

jak masz pytania to pisz na pw