Question

1. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach długości 8 i 2 orz wysokości rownej 3. Oblicz objetość tego grtaniastosłupa, wiedząc, że jego przekątna ma długość 5√2

2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 60°. Wysokość graniastosłupa jest równa dłuższej przekątnej jego podstawy. Oblicz długość krawędzi podstawy, jeżeli objętość graniastosłupa jest równa 12.

3. Krawędz podstawy ostrosłupa prawidlowego trójkątnego ma długość 6 a krawędz 4
a) Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy
b)Oblicz objętość tego ostrosłupa

Answer 1

1.
AB, DC - podstawy trapezu
AC - przekątna trapezu
CF - wysokość trapezu
H - wysokość graniastosłupa
d - przekątna graniastosłupa
V - objętość graniastosłupa
(patrz załącznik 1)
Pp - pole podstawy (trapezu) graniastosłupa
|AB| = 8
|DC| = 2
|CF| = 3
d = 5√2
Trapez ABCD jest równoramienny, dlatego
|AE| = |FB| = |AB| - |DC| / 2
|FB| = 8 - 2 / 2 = 6 / 2 = 3
|AF| = |AB| - |FB| = 8 - 3 = 5
ΔAFC jest prostokątny
|AC|² = |AF|² + |CF|²
|AC|² = 5² + 3²
|AC|² = 25 + 9
|AC|² = 34
|AC| = √34
ΔAA₁C jest prostokątny
|A₁C|² = |AA₁|² + |AC|²
d² = H² + |AC|²
H² = d² - |AC|²
H² = (5√2)² - (√34)²
H² = 25*2 - 34
H² = 50 - 34
H² = 16
H = √16 = 4
Pp = ½ * (|AB| + |DC|) * |CF|
Pp = ½ * (8 + 2) * 3 = ½ * 10 * 3 = 5 * 3 = 15
V = Pp * H
V = 15 * 4
V = 60

2.
α - kąt ostry rombu
a - krawędź podstawy graniastosłupa (bok rombu)
d₁ - krótsza przekątna rombu
d₂ - dłuższa przekątna rombu
H - wysokość graniastosłupa
Pp - pole podstawy (rombu) graniastosłupa
V - objętość graniastosłupa
H = d₂
V = 12
α = 60°
(patrz załącznik 2)
Podstawa to romb o kącie ostrym 60°, czyli ΔABD i BCD są trójkątami równobocznymi. Stąd wiemy, że
- krótsza przekątna d₁ ma długość:
|BD| = d₁ = a
- dłuższa z przekątnych d₂ma długość :
|AC| = d₂ = 2 * a√3 / 2 = a√3 (dwie wysokości trójkąta równobocznego)
Pp = ½ * d₁ * d₂
Pp = ½ * a * a√3 = a²√3 / 2
V = Pp * H
V = Pp * d₂
12 = a²√3 / 2 * a√3 /*2
24 = a²√3 * a√3
24 = a³ * 3 /:3
a³ = 24 : 3
a³ = 8
a = ∛8
a = 2

3.
a)
a - krawędź podstawy ostrosłupa (bok trójkąta równobocznego)
b - krawędź boczna ostrosłupa
Pp - pole podstawy
H - wysokość ostrosłupa
V - objętość ostrosłupa
α - kąt nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy
(patrz załącznik 3)
a = 6
b = 4

BE to ⅔ wysokości trójkąta równobocznego ABC , czyli
|BE| = ⅔ * a√3 / 2
|BE = a√3 / 3
|BE| = 6√3 / 3
|BE| = 2√3
|EB| = H obliczymy z ΔBED (trójkąt prostokątny)
b² = H² + |BE|²
H² = b² - (2√3)²
H² = 4² - 4 * 3
H² = 16 - 12
H² = 4
H = √4
H = 2
sinα = H / b
sinα = 2 / 4
sinα = ½
α = 30°

b)
Pp = a²√3 / 4
Pp = 6² * √3 / 4
Pp = 36√3 / 4
Pp = 9√3
V = Pp * H
H obliczono w podpunkcie a)
H = 2
V = ⅓ *9√3 * 2
V = 6√3