Question

A) Uzasadnij że pole powierzchni bocznej Pb ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wyraża się wzorem Pb=½Lh, gdzie L jest obwodem podstawy, a h - wysokością ściany bocznej.

b)Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny w którym wysokość ściany bocznej jest równa 9 cm. Rożnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa a polem koła wpisanego w jego podstawę wynosi 8π cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa

Proszę o zrobienie obydwu przykładów

Answer 1

1. Pole boczne ostrosłupa jest polem 6 trójkątów równoramiennych o podstawie a (bok sześciokąta) i wysokości h.

Pb = 6Ptr
Ptr = 0,5ah
Pb = 6*0,5ah
Pb = 0,5*6ah

jeśli L=6a to

Pb = 0,5Lh


2.
h=9 - wysokość ściany bocznej
R - promień koła opisanego na podstawie
r - promień koła wpisanego w podstawę
8π - różnica między polami kół
Pc - pole całkowite ostrosłupa
Pb - pole boczne ostrosłupa
Pp - pole podstawy ostrosłupa
Pw - pole koła wpisanego
Po - pole koła opisanego

Po=πR²
Pw=πr²
πR² - πr² = 8π /:π
R² - r² = 8
R² = 8 + r²

Sześciokąt składa się z 6 trójkątów równobocznych, w ktorych promień R jest bokiem, a promień r jest wysokością.

ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
r = (R√3)/2
(√3 - pierwiastek z 3)

po podniesieniu do kwadratu:
r² = (3R²) / 4
r² = (3[8 + r²]) / 4

mnożąć przez 4
4r² = 24 + 3r²
r² = 24
r = 2√6

R² = 8 + r²
R ² = 8 + 24
R² = 32
R = 4√2

Ze wzoru z poprzedniego zadania:
L = 6R = 24√2
Pb = ½ * 24√2 * 9 = 12√2 * 9 = 108√2

Pp = 6* (R²√3)/4 = 6* (32√3)/4 = 48√3

Pc = Pp + Pb = 48√3 + 108√2 [cm²]