Question

Wiedząc, że [tex]cos2\alpha =\frac{7}{8}[/tex] oraz [tex]\alpha \in (\pi;1,5\pi)[/tex] oblicz [tex]sin\alpha.[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\sin\alpha=-\frac{1}{4}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skorzystamy ze wzoru na cosinusa podwojonego kąta.

[tex]\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha[/tex]

Zatem

[tex]\frac{7}{8}=1-2\sin^2\alpha\\2\sin^2\alpha=1-\frac{7}{8}\\2\sin^2\alpha=\frac{1}{8}\ |:2\\\sin^2\alpha=\frac{1}{16}\\\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{16}}\ \vee\ \sin\alpha=-\sqrt{\frac{1}{16}}\\\sin\alpha=\frac{1}{4}\ \vee\ \sin\alpha=-\frac{1}{4}[/tex]

Ponieważ [tex]\alpha\in(\pi;1,5\pi)[/tex], czyli alfa należy do III ćwiartki układu współrzędnych, a tam sinus jest ujemny, więc ostatecznie

[tex]\sin\alpha=-\frac{1}{4}[/tex]