Question

Suma k wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi s, zaś suma s wyrazów tego ciągu wynosi k. Oblicz sumę k+s wyrazów tego ciągu, jeśli k jest różne od s.

Answer 1

Tak więc mamy dane: Sk=s Ss=k

  2a1+(n−1)r   Rozpisujemy każdą sumę ze wzoru: Sn= *n, czyli:   2     2a1+(k−1)r   Sk= *k   2     2a1+(s−1)r   Ss= *s   2  

Robimy układ równań:

2a1+(k−1)r   *k=s 2   2a1+(s−1)r   *s=k 2  

Z tego układu musimy wyznaczyć a1 oraz r w zależności od s i k.

2a1+(k−1)r   *k=s / : k 2   2a1+(s−1)r   *s=k / : s 2   2a1+(k−1)r   s   =   2   k   2a1+(s−1)r   k   =   2   s     s   2a1+(k−1)r=2     k     k   2a1+(s−1)r=2 Odejmujemy obustronnie:   s     s   k   2a1+(k−1)r−2a1−(s−1)r=2 −2     k   s     s2−k2   (k−1−s+1)r=2     sk     (s−k)(s+k)   −(s−k)r=2 /:(s−k)   sk     s+k   −r=2     sk     −2(s+k)   r=     sk  

Mamy już "r", teraz:

  s   2a1+(k−1)r=2 podstawiamy przykładowo do tego równania i liczymy a1   k     −2(s+k)   s   2a1+(k−1) =2     sk   k     2s   2(k−1)(s+k)   2a1= +     k   sk     2s2+2(k−1)(s+k)   2a1=     sk     −2(s+k)   r=     sk  

Teraz mamy policzyć:

  2a1+(s+k−1)r   2s2+2(k−1)(s+k)   −2(s+k)   +(s+k−1)   sk   sk     Ss+k= *(s+k)= *(s+k)=   2   2     2s2+2(k−1)(s+k)−2(s+k)(s+k−1)     sk     = *(s+k)=   2     2s2+2(k−1)(s+k)−2(s+k)(s+k−1)   = *(s+k)=   2sk     s2+(k−1)(s+k)−(s+k)(s+k−1)   = *(s+k)=   sk     s2+(s+k)(k−1−s−k+1)   = *(s+k)=   sk     s2−s(s+k)   = *(s+k)=   sk     s2−s2−sk   = *(s+k)=   sk     −sk   = *(s+k)=−(s+k)   sk  

Czyli: Ss+k=−(s+k)