Question

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi 60. Zbadaj, jaka jest wysokość prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Answer 1

- długość krawędzi podstawy
b - wysokość

8a+4b=60
2a+b=15

Pole powierzchni całkowitej można zapisać jako:
2a²+4ab=P
Uzależnimy to pole tylko od a

b=15-2a

P(a)=2a²-4a(15-2a)=2a²-60a-8a²
P(a)=-6a²-60a

Jest to funkcja kwadratowa, a współczynniku prz a²<0

Ustalamy dziedzinę tej funkcji:
a>0 (ponieważ jest to długość odcinka)
2a+b=15 => 2a<15 => a<7,5 => a∈(0 , 7,5)

Szukamy więc największej wartości funkcji P(a) w tym przedziale.

Ta funkcja największą wartość przyjmuje w wierzchołku. Zatem:

Xw=-b/2a=-60/(-12)=5
Xw∈(0 , 7,5) Zatem największą wartość ta funkcja w tym przedziale przyjmuje dla a=5

Z równania 2a+b=15 wyliczam b=5

Wynika z tego, że największe pole całkowite będzie miał sześcian o wysokości 5cm.

Answer 2

DANE:
a - długość krawędzi podstawy
b - wysokość

OBLICZENIA:
8a+4b=60
2a+b=15

Pc( pole powierzchni całkowitej) można zapisać jako:
P=2a²+4ab

b=15-2a
P(a)=2a²-4a(15-2a)=2a²-60a-8a²
P(a)=-6a²-60a

Jest to funkcja kwadratowa, a współczynniku prz a²<0

Ustalamy dziedzinę tej funkcji:
a>0 (ponieważ jest to długość odcinka)
2a+b=15 => 2a<15 => a<7,5 => a∈(0 , 7,5)

największa wartość funkcji P(a) w tym przedziale.
Funkcja ta największą wartość przyjmuje w wierzchołku.

Więc dalej:

Xw=-b/2a=-60/(-12)=5
Xw∈(0 , 7,5) Zatem największą wartość ta funkcja w tym przedziale przyjmuje dla a=5

Z tego równania: 2a+b=15 wyliczamy b=5

Największe pole całkowite ma sześcian o wysokości 5cm.

; )