Question

Rzucamy n-razy kostką do gry (n > 2). Czy liczba możliwości otrzymania sumy wszystkich wyrzuconych oczek nie większej niż n + 2 jest liczbą parzystą, gdy n jest liczbą nieparzystą? Zależy mi nie na samej odpowiedzi, a na prawidłowo przeprowadzonym dowodzie.

Answer 1

obliczymy liczbę warjancji dla 3 rzutów kostka z powtórzeniami z zbioru 6 elementowego
-mamy tyle różnych ciagów ale z tego co mi się wydaje to nie ma takiej możliwości dla tych założeńponieważ n+2 ma być liczba parzystą ale bd tylko wtedy gdy n będzie parzyste każda liczba nie parzysta do której dodamy liczbe parzystą da dalej sume nie parzysta odp jest 0 a 0 przyjmuje się jako liczbę parzystą wiec liczba możliwości jestparzysta (chyba ze na lekcji macie inne zalożenia dla 0)

Answer 2

Rzucamy n razy, chcemy aby suma wynosiła co najwyżej n+2.

 

Możliwe sumy to n, n+1 oraz n+2

 

Sumę n uzyskujemy tylko na jeden sposób (wyrzucone same jedynki)

 

Sumę n+1 uzyskujemy na n sposobów (jedna dwójka i reszta jedynek - dwójka może wypaść w jednym z n rzutów)

 

Sumę n+2 uzyskujemy:

* albo jako trójka i reszta jedynek (n sposobów - zależnie od momentu wyrzucenia trójki)

* albo dwie dwójki i reszta jedynek - tutaj jest n*(n-1) / 2 możliwości (liczba możliwych układów miejsc, na których wyrzuciliśmy dwójkę.

 

Dodatkowo wiemy, że n jest liczbą nieparzystą, zatem n = 2k + 1

 

W sumie mamy tyle możliwości:

 

1 + n + n + n*(n-1)/2 =

= 1 + 2n + (2k+1)(2k+1-1)/2 =

= 1 + 2(2k+1) + (2k+1)(2k)/2 =

= 1 + 4k + 2 + (2k+1)k =

= 3 + 4k + 2k^2 + k =

= 3 + 5k + 2k^2

 

Parzystość tej liczby jest taka sama jaki liczby 1+k

Zatem, w zależności, czy k jest liczbą parzystą, czy nieparzystą, to liczba możliwości jest parzysta lub nieparzysta

 

Przykład:

dla n=1 (k=0) mamy 3 możliwości

dla n=3 (k=1) mamy 10 możliwości