Question

rozwiąż

a) |2x-3|>16+|x+1|

b) 2|x-2|-|x|>1

Answer 1

a)

|2x - 3| > 16 + |x + 1|

Na podstawie def. wartości bezwzględnej mamy:

i

 

Zatem rozpatrzymy trzy przypadki:

1) x ∈ (- ∞; - 1)

Nierówność przyjmuje postać:

- 2x + 3 > 16 - x - 1

- 2x + x > 16 - 1 - 3

- x > 12   |·(-1)

x < - 12

czyli x ∈ (- ∞; - 12)

zatem uwzględniając założenie mamy: (- ∞; - 12) n (- ∞; - 1) = (- ∞; - 12), czyli x ∈ (- ∞; - 12)

 

2) x ∈ <-1; 1,5)

Nierówność przyjmuje postać:

- 2x + 3 > 16 + x + 1

- 2x - x > 16 + 1 - 3

- 3x > 14   |:(-3)

x < - ¹⁴/₃

x < - 4⅔

Rozwiązanie to jest sprzeczne z założeniem, bo (- ∞; - 4⅔) n <-1; 1,5) = Ф

 

3) x ∈ <1,5; + ∞)

Nierówność przyjmuje postać:

2x - 3 > 16 + x + 1

2x - x > 16 + 1 + 3

x > 20

czyli x ∈ (20; + ∞)

zatem uwzględniając założenie mamy: (20; + ∞) n <1,5; + ∞) = (20; + ∞), czyli x ∈ (20; + ∞)

 

Ostatecznie zbiór rozwiązań nierówności jest równy sumie otrzymanych zbiorów:

(- ∞; - 12) u Ф u (20; + ∞) = (- ∞; - 12) u (20; + ∞), czyli

 

b)

2·|x - 2| - |x| > 1

Na podstawie def. wartości bezwzględnej mamy:

i

 

Zatem rozpatrzymy trzy przypadki:

1) x ∈ (- ∞; 0)

Nierówność przyjmuje postać:

2·(- x + 2) - (- x) > 1

- 2x + 4 + x > 1

 - x >  1 - 4

- x > - 3   |·(- 1)

x < 3

czyli x ∈ (- ∞; - 3)

zatem uwzględniając założenie mamy: (- ∞; 3) n (- ∞; 0) = (- ∞; 0), czyli x ∈ (- ∞; 0)

 

2) x ∈ <0; 2)

Nierówność przyjmuje postać:

2·(- x + 2) - (x) > 1

- 2x + 4 - x > 1

- 3x > 1 - 4

- 3x > - 3   |:(-3)

x < 1

czyli x ∈ (- ∞; 1)

zatem uwzględniając założenie mamy: (- ∞; 1) n <0; 2) = <0; 1), czyli x ∈ <0; 1)

 

3) <2; + ∞)

Nierówność przyjmuje postać:

2·(x - 2) - (x) > 1

2x - 4 - x > 1

x > 1 + 4

x > 5

czyli x ∈ (5; + ∞)

zatem uwzględniając założenie mamy: (5; + ∞) n <2; + ∞) = (5; + ∞), czyli x ∈ (5; + ∞)

 

Ostatecznie zbiór rozwiązań nierówności jest równy sumie otrzymanych zbiorów:

(- ∞; 0) u <0; 1) u (5; + ∞) = (- ∞; 1) u (5; + ∞), czyli