Question

Dany jest wielomian w(x) =, gdzie m należy do R

a) dla jakich wartosci parametru m, wielomian ma trzy rozne pierwiastki?

prosze o pełne rozwiazanie a nie same wskazówki

Answer 1

w(x) =

x-2=0 - jeden pierwiastek

x²-2mx+1-m²=0 - powinny byc kolejene dwa

Δ=(-2m)²-4*1*(1-m²)=8m²-4

jeżeli Δ>0 to równanie będzie miało da pierwiastki

8m²-4>0

4(2m²-1)>0

4(√2m-1)(√2m+1)>0

m=√2/2   v   m=-√2/2

 

m ∈ (-∞,-√2/2) ∨ (√2/2,+∞) - dla takich m wielomian będzie miał trzy pierwastki

 

jako że ma mieć 3 różne, to należy zaożyć x≠2 dla wyrażenia w drugim nawiasie, czyli W(2)≠0

2²-2m*2+1-m²≠0

m²+4m-5≠0

Δ=14+20=36

m=(-4-6)/2=-5

m=(-4+6)/2=1

m≠-5  ∨  m≠1

 

reasumując

 

m ∈ (-∞,-5)  ∨  (-5,-√2/2) ∨ (√2/2,1)  ∨   (1,+∞)