Question

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)= , x nalezy do R. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+1 jest równa -8

a) oblicz a i b

b) rozwiaż nierówność W(x) 0

Answer 1

Jesli reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian x+1 jest -8 tzn. żę W(-1)=-8, to -1 bierzemy z tego dwumianu(dla -1 "on sie zeruje')

 Podstawiamy do wielomianu w miejsce x -1 i przrównujemy do 0

-(-1)^3+a(-1)^2+5*(-1)--8

upraszczamy zapis:-1+a-5-b=-8

a-b=-4 tojest pierwsze równanie

Teraz wykorzystamy że 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu( podstawimy za x=3 i musi dać 0)

-27+9a+15-b=0

9a-b=12(*) mamy drugie równanie

a-b=-4/ razy (-1)

-a+b=4(**)

dodajemy stronami (*) i (**)

8a=16/:8

a=2

podstawiamy to np. do (**)

-2+b=4

b=6

W(x)=-x^3+2x^2+5x-6

dzielimu nasz wielomian przez x-3 i otrzymujemy:

(x-3)(-x^2-x+2)\leq 0

 ten drugi nawias : z delty liczymy miejsca zerowe : są to 1 i -2

 

więc mamy trzy miejsca zerowe wielomianu, 3( z treści zadania), 1 , -2

rysujemy je na osi pozomej od najmniejszego -2, 1, 3

Ponieważ współczynik przy najwyższej potędze wielomianu jest ujemny( -x^3, czyli

-1x^3   chodzi o -1 ) to rysujemy na tej osi linie falistą zaczynając z prawej strony OD DOŁU przechodzimy przez 3 do góry i potem na dół przez 1 i znowu do góry przez -2. Teraz patrzymy ktora częśc linii leży pod osia i na osi bo( \leq 0)

 

Rozwiazanie: x należy do przedziału ( -2;1) +(3; +nieskończoność) tylko te nawiasy powinny być ostre bo łapiemy do przedziału -2,  1  i 3