Question

rozwiąż równanie dwukwadratowe;

x do czwartej=16x²

x do czwartej-10x²+25=0

x do czwartej-2x²-3=0

x do czwartej+12x²+35=0

4x do czwartej+9=37x²

x do czwartej+2x²=24

proszę o dpkładne rozwiązanie;)

daję Naj;)

Answer 1

x⁴=16x²

x⁴-16x²=0

x²(x²-16)=0

x²(x-4)(x+4)=0

x=0 x=4 x=-4   gdzie x=0 pierwiastek podwójny

 

x⁴-10x²+25=0

rozkładamy wg wzoru skróconego mnożenia:

(x²-5)(x²-5)=0

(x-√5)(x+√5)(x-√5)(x+√5)=0

x=√5 (podwójny) i x=-√5 (również podwójny)

 

x⁴-2x²-3=0

x²=t  i  t>0

t²-2t-3=0

Δ=4+12

Δ=16

√Δ=4

t₁=-1 i t₂=3 => t=3

 

(x⁴-2x²-3):(x²-3)=(x²+1)

 

(x²+1)(x²-3)=0

(x²+1)(x-√3)(x+√3)=0

x=√3  x=-√3

 

x⁴+12x²+35=0

znów x²=t i t>0

t²+12t+35=0

Δ=144-140

Δ=4

√Δ=2

 

t₁=-6 i t₂=-5 brak rozwiązań, ponieważ x² nie może być ujemne...

 

4x⁴+9=37x²

4x⁴-37x²+9=0

4x⁴-36x²-x²+9=0

(4x⁴-36x²)-(x²-9)=0

4x²(x²-9)-1(x²-9)=0

(4x²-1)(x²-9)=0

(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3)=0

x=½  x=-½  x=3  x=-3

 

 

 

x⁴+2x²=24

x⁴+2x²-24=0

x²=t t>0

t²+2t-24=0

Δ=4+96

Δ=100

√Δ=10

t¹=-6  i t₂=4 => t=4

 

(x⁴+2x²-24):(x²-4)=x²+6

 

(x²-4)(x²+6)=0

(x+2)(x-2)(x²+6)=0

x=2  x=-2

 

Answer 2

rozwiąż równanie dwukwadratowe;

x do czwartej=16x²

x⁴ -16x² = 0

x²(x² -16) = 0

x²(x -4)(x +4) = 0

x² = 0, lub x -4 = 0, lub x +4 = 0

x = 0(II), lub x = 4,  lub x = -4

 

 

x do czwartej-10x²+25=0

x⁴ -10x² +25 = 0

(x² - 5)² = 0

x² -5  = 0

(x -5)(x +5) = 0

x -√5 = 0, lub x +√5 = 0

x = √5(II)   lub  x = - √5(II)

 

 

x do czwartej-2x²-3=0

x⁴ -2x² -3 = 0

wprowadzam pomocniczą  niewiadomą t

x² = t

t² -2t -3 = 0

Δ = (-2)² -4*1*(-3) = 4 +12 = 16

√Δ = √16 = 4

 

t1 = (2 -4) :2*1 = (-2) :2 = -1

t2 = (2 +4) :2*1 = 6 :2 = 3

wracam do poprzedniego oznaczenia;

 

x² = -1  , lub x² = 3

pierwsze wyrażenie nie ma sensu, bo x² jest zawsze dodatnie( więc brak pierwiastków w tym wyrażeniu)

x² =3

x² -3 = 0

(x -√3)(x+∛3) = 0

x - √3 = 0, lub x + √3 = 0

x = √3, lub   x = - √3

 

x do czwartej+12x²+35=0

x⁴ +12x² +35 = 0

x² = t

t² +12t +35 = 0

Δ = 12² -4*1*35 = 144 - 140 =4

√Δ = √4 = 2

t1= (-12 -2):2*1 = (-14) :2 = -7

t2 = (-12 +2) : 2*1 = (-10) :2 = -5

 

x² = -7   lub x² = -5

W obu przypadkach brak pierwiastków

 

 

4x do czwartej+9=37x²

4x⁴ +9 -37x² = 0

4x⁴ -37x² +9 = 0

x² = t

4t² -37t +9 = 0

Δ = (-37)² -4*4*9 = 1369 - 144 = 1225

√Δ = √1225 = 35

 

t1 = (37 -35):2*4 = 2 : 8 = ¼

t2 = (37 + 35) : 2*4 = 72 : 8 = 9

 

x² = t1              lub  x² = t²

x² = ¼,             lub  x² = 9

(x² -¼)=0,        lub (x² -9) = 0

(x-½)(x+½) =0, lub (x-3)(x +3) = 0

x-½ =0, lub x +½ = 0, lub x -3 = 0, lub x +3 = 0

x = ½ ,  lub  x = -½,   lub  x = 3,    lub  x = -3

 

x do czwartej+2x²=24

x⁴ +2x² -24 = 0

x² = t

t² +2t -24 = 0

Δ = 2² -4*1*(-24) = 4 + 96 = 100

√Δ = √100 = 10

t1 = (-2 -10):2*1 = (-12):2 = -6

t2 = (-2 +10):2*1 = 8 :2 = 4

 

x² = t1,       lub  x² = t2

x² = -6        lub  x² = 4

brak pierw, lub  x² -4 = 0

                       (x -2)(x +2) = 0

                       x -2 = 0, lub x +2 = 0

                       x = 2,     lub  x = -2